Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
группы SU(2) или 517(1, 1)), в то время, как модель КдФ представляет
собой более далекую редукцию. Именно поэтому мы выбрали уравнение НШ в
качестве основной модели нашей книги.
Для различного типа граничных условий модель КдФ является гамильтоновой
системой. Так, в быстроубывающем случае фазовое пространство состоит из
вещественнозначных шварцев-ских функций и(х); пуассонова структура
задается скобками Пуассона
{и(х),и(у)} =-i- [-j- -Л-^Ь(х - у). (3.15)
Уравнение КдФ записывается в гамильтоновом виде
ди (3.16>
dt дх б и
где
ОО
+ (317>
-оо
Отметим, что пуассонова структура (3.15) является вырожденной и имеет
одномерный аннулятор, порожденный наблюдаемой
Q = j и (х) dx. (3.18)
-оо
Поэтому симплектическая структура определена только на множествах уровня
Q = const. Соответствующая 2-форма О имеет вид
ОО
Q = J du (х) Д (д 1du) (х) dx, (3.19)
-20
где д~1 обозначает первообразную. Функционал импульса
00
Р =-------- Г u2(x)dx (3.20)
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
279
получается из симплектической формы Q с помощью конструк-дии из § 1.
2. Модель TV-волн. Эта модель возникает как условие нулевой кривизны
для связности (U(x, t, К), V(х, t, Я)), коэффициенты которой имеют по
одному общему полюсу, например, в точке 1 = 00:
U(х, t, Л) = ?/.о + A,t/j, V(х, t, Л) = 1^0 + 11^!. (3.21)
В ситуации общего положения устраним калибровочный произвол следующим
условием: матрицы ТУ, и V, диагональны и имеют несовпадающие собственные
значения, а матрицы Ua и Va имеют нулевые диагональные части. В
уравнениях (3.3) диагональные и антидиагональные части
расщепляются и поэтому допустима редукция: матрицы ТУ, и не
зависят от х и t. Таким
образом,система (3.3) приобретает вид
[tfj, V0] = [Vlt U0], (3.22)
ML-*?!L+[UoiV0]=0. (3.23)
dt dx
Алгебраическое уравнение (3.22) тривиально решается:
Ua=[Ult W], Va = [Vlt W], (3.24)
где W - матрица с нулевой диагональной частью, а уравнение
(3.23) переписывается в виде эволюционной системы с квадратичной
нелинейностью
3W
и^
dt
dx
+ [[U1,W],[V 1,W]] = 0. (3.25)
Получившаяся система имеет интересные приложения в случае дополнительной
редукции
Ul = -Uu V\=-- - V1,W* = - JWJ, (3.26)
где J - диагональная матрица, Р = 1. Эта редукция уменьшает вдвое число
неизвестных функций в системе (3.25). Первые нетривиальный пример
отвечает вспомогательному пространству С3 и описывает простейшее
нелинейное взаимодействие трех волновых пакетов. В общем случае число
элементарных волн N и (и - 1)
равно --------- , где п - размерность вспомогательного прост-
ранства С".
Выпишем более явно уравнения (3.25) в случае энтиэрмито-вой редукции /=/.
Положим
t/, = tdiag(a" ..., ап), Vi = idiag(bl, , Ьп), (3.27)
wrk = (3.28V
Уа,--ан
280 Гл- I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ II ИХ ОЫЦНЕ СВОЙСТВА
где j<k и предполагается, что а1'>а2>.. .>ап. Для функций /) получаем
систему гиперболического типа
аЧ/* r, аЧ/* , 1 yi .к и: I
--- - V k ---------------- у Р/й/Ч/74 й/ +
at дх I ^
/=йи
Н-~г у//йЧ//Ч/й +-у~ у//йЧ//Ч/ь (3.29ji
/=/ы /=1
где j<k, /, k= 1, ..., n, и
djk--------
Vjkr-
a! - ak
a/bl - afij + aibk - gkbl + akbj - аД (3.30)
Y(a,-ak) (dj at) (ak-at)
Эта система является гамильтоновой. Фазовое пространство-для случая
быстроубывающих граничных условий параметризуется набором п(п-1)
шварцевских функций (ф^(х), фуДл'), 1^ ^.j<.k<Zn). Пуассонова структура
задается скобками Пуассона
{Ч/й (-'Oi Ч/m УУ)} : {Ч/й (-'O' Ч/m {У)} == 9,
(3.31>
{Ч/й (-0, Ч/т (у)} = *Мйт6 (х - уу, 1 < / < k < Л, 1 < / < т п, и система
уравнений (3.29) записывается в гамильтоновом виде
-^- = {Я.Ч/*}, -^ = {Я,Ч/й} (3-32)
а/ а/
с гамильтонианом
и 1 { I SX .. ( d^ib ТТ. \ ,
Я- т Ь 1/4 _г
-ос V 1 г?/<й<гс
ч~ ^ у/*/ (Ч/йЧй/Ч// + Ч/йЧй/Ч,-/)]^. (3.33)
1</<Й</<П j
3. Уравнения киральных полей. Термин киральное поле используется в
современной литературе для функции на пространстве-времени со значениями
в нелинейном многообразии М. Фактически такие поля появляются в случае,
когда М является однородным пространством группы Ли G, которую мы будем
считать компактной. Если M=G, то принято употреблять термин главное
киральное поле.
Уравнения движения для главного кирального поля g(x, t) имеют вид
"-l Л (3.34)
dt2 дх2 dt 6 dt дх 5 дх
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
281
Их удобно переписать, используя в качестве независимых функций матрицы
= к (х, t) = g~K (3.35)
dt дх
Эти матрицы принадлежат алгебре Ли g группы G и называются левыми токами
поля g(x, t). В терминах токов уравнения движения выглядят следующим
образом:
Jh-^2_ + [/ / ] = 0> = (3.36)
dt дх dt дх
Первое из этих уравнений представляет собой условие нулевой кривизны и
следует из определения (3.35), а второе - из уравнения (3.34).
Представление нулевой кривизны задается матрицами -U(x, t, к) и V{х, t,
Л) с двумя простыми полюсами, которые, без ограничения общности, выберем
лежащими в точках Л=±1. "Калибровочный произвол фиксируется требованием
исчезновения постоянных членов этих матриц. Тогда матрицы U(x, t, к) и V
