Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
•Ия=$ (S3(x)-l)dx. (1.13)
- со
Формально существующие величины Mt и М2 являются недопустимыми
функционалами, так как порождаемые ими гамильтоновы потоки нарушают
граничные условия (1.4) - (1.5).
Выражение для импульса (1.10) имеет интересный геометрический смысл,
который мы обсудим в конце параграфа. При этом
256 гл. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
станет ясной О (3)-инвариантность импульса в периодическом случае, хотя
это и не очевидно из формулы (1.10).
Уравнение (1.2) представляется как условие нулевой кривизны для связности
(U(x, t, к), V(x, t, к)) вида
U(k) = - S, V (k) = - S + - -S. (1.14)
2i 2 2 dx
iX- о , X dS
U(K)= o, V[h) =
21
Здесь
S = = (1-15)
a-l
- бесследовая эрмитова матрица, удовлетворяющая соотношению
S2=I (1.16)
(см. (1.1)), а щ-матрицы Паули. Действительно, условие нулевой кривизны
dJL-dJ- + {U, v\ = 0 (1.17)
dt dx
с учетом (1.16) эквивалентно уравнению
dS__ J_ dt ~ 2i
s. 828
dx2
(1.18)
которое, в свою очередь, эквивалентно исходному уравнению МГ.
Отметим, что эквивалентность соотношений (1.14), (1.17) и
(1.18) использует только условие (1.16) и остается справедливой и для
матриц S(x, t) произвольной размерности.
2. Модель Sine-Gordon (модель SG). Уравнение движения имеет вид
т^5.пр о, (1.19)
дР dxS Р V
где ф(лг, t)-вещественнозначная функция, а (3 и пг--положительные
параметры. При этом функции ф(лг, t) и <р(лг, t)+2nl$
считаются эквивалентными.
Типичные граничные условия для начальных данных
Ф (х) =¦ ф (х, t) |<=0, п(х) = ^~ (х, t) |fc=J (1.20)
dt
имеют вид:
а) Периодические граничные условия:
Ф (х + 2L) = ф (х) (mod 2л/Р), п(х-\- 2 L) - п (х).
(1.21)
§ 1. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ МОДЕЛЕЙ
257
б) Быстроубывающие граничные условия: lim ф (х) = О (mod 2я/Р),
1*Н"
(1.22)
lim л (х) = 0.
При этом граничные значения принимаются достаточно быстро, например, в
смысле Шварца.
С физической точки зрения уравнение (1.19) описывает модель
релятивистской теории поля в двумерном пространстве-времени. Параметры
тир играют роль массы и константы взаимодействия соответственно. Поле
ц>(х, t)-массивное вещественное скалярное поле - имеет важную
характеристику - топологический заряд
где интегрирование ведется по фундаментальной области в случае а) и по
всей оси в случае б). Эта величина сохраняется в силу граничных условий и
является целочисленной. С математической точки зрения Q представляет
собой число вращения (степень отображения) функции %(х) =ехр{/рф(.у)}.
Фазовое пространство модели образовано начальными данными- парами функций
(л{х), ф(*)), где <${х) принимает значения по mod - , удовлетворяющими
граничным условиям а) Р
или б). Пуассонова структура на нем задается скобками Пуассона
{ф(*)( фЫ} = {я(*), я(</)}= 0, {я(*), ф(г/)}=6(*-у) (1.24)
и очевидно является невырожденной. Уравнение (1.19) записывается в
гамильтоновом виде
где интегрирование ведется в соответствии с граничными условиями.
Гамильтониан Н, импульс Р
(1.23)
д-^={Н, ф},
dt dt
(1.25)
с гамильтонианом
Н =
(1.26)
(1.27)
и генератор лоренцевых вращений К.
К =
(1.28)
258 гл. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ и их общие свойства
задают гамильтоново действие алгебры Ли группы Пуанкаре двумерного
пространства-времени. Их скобки Пуассона имеют вид
{Н, Р}= О, {Н, К)=р, {К, Р)=-Н. (1.29)
Уравнение (1.19) представляется в виде условия нулевой кривизны для
связности (U(x, t, X), V(x, t, X)) следующего вида;
U (X) = - па3 + - sin - Cj + - cos - as, (1.30) 4 i i 2 i
2
' l/(^)=^r^a3 + ^-sin^a1 + -^cos^a2, (1.31)
At ox i 2 i 2
где Oa9 как обычно,- матрицы Паули и
*.=т(* + г). (1'32>
Ковариантные производные АД р=0, 1, где
V, Х1=-% и- x0 = t,Xl = x, (1.33)
дх0 дх,
имеют явно лоренц-инвариантный вид. Для этого заметим, что
я=-^-, и объединим k0, k, в лоренцев вектор длины m/2: k2 =
д\0
= -kя =тг]4, а также используем дуальный вектор
k№=e^vkv с компонентами ku k0.
3. Модель Ландау - Лифшица непрерывного анизотропного магнетика
(модель Л - Л). На введенном в примере 1 фазовом пространстве изотропного
магнетика рассмотрим гамильтониан
<134>
где J(S)-квадратичная форма постоянной матрицы J, которую без ограничения
общности можно считать диагональной, так что
J (S) = + J2Sl + J3Sl, (1.35)
(В быстроубывающем случае из подынтегрального выражения
в (1.34) следует вычесть величину - /(S0).)
Гамильтоновы уравнения движения имеют вид
dJL = Sf\^-+s/\JS (1.36)
dt дх2
и описывают анизотропный магнетик. В физике твердого тела уравнение
(1.36) называется уравнением Ландау - Лифшица.
§ 1. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ МОДЕЛЕЙ
259
Представление нулевой кривизны для модели JI-JI в общем случае /1</2</3
задается матрицами
Здесь бп(Д k), cn (a, k) и dn(^, k)-эллиптические функции Якоби модуля k.
Функции иа(Х) удовлетворяют квадратичным соотношениям
задающим эллиптическую кривую; спектральный параметр X играет роль
униформизующей переменной. Отметим, что формулы (1.39) - (1.40) дают одну
из возможных параметризаций соотношений (1.42); для вывода уравнения
