Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
бесконечнозонном случае, которому посвящены работы[3.33] и [3.64]. Случай
модели НШ разбирается в работе [3.18] (по сравнению с уравнением КдФ
здесь возникает нетривиальная проблема вещественности; см. работы [3.18]
и [3.38]).
(10.1)
Рь(Еп) = ± 2.
(10.2)
(Ю.З)
§ 10. КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
249
На многообразии конечнозонных функций ф(х), ф(х) имеется еще одна
естественная пуассонова структура, порожденная вариационным исчислением.
На примере уравнения КдФ она впервые была введена в работе С. П. Новикова
[3.37]. Построению канонических переменных типа действие - угол для этих
скобок Пуассона и их связи с исходными скобками Пуассона для уравнений
КдФ и НШ посвящены работы [3.4-3.6], [3.8-3.9], [3.18] и [3.47]. Анализ
пуассоновых структур на многообразии конечнозонных решений привел к
появлению в теории конечномерных интегрируемых систем общего понятия-
алгебро-геометрических (или аналитических) скобок Пуассона [3.7].
Мы намеренно привели в этом комментарии большое количество ссылок па
оригинальные работы и обзоры по интегрируемым моделям с периодическими
граничными условиями для того, чтобы лучше ориентировать читателя в этой
области, которая практически не была затронута в основном тексте.
7) Вывод представления нулевой кривизны из г-матричной записи скобок
Пуассона для быстроубывающего случая модели НШ был приведен в работе
[3.42], Наше изложение следует работе [3.45].
8) Понятие Л-оператора для одномерного уравнения Шредингера
сРу
- - + и (Л-) у = Ху (10.4)
dx2
имеет большую историю. Так, дифференциальный оператор третьего порядка
Id3 d 1 du(x)
4 dx dx 2 dx
обладающий свойством
Л (У!У2) = X(У!У2) (10.6)
dx
для любых двух решений уравнения (10.4), встречается еще у Эрмита [3.57].
В формализме метода обратной задачи для уравнения КдФ оператор Л впервые
использовался в работах [3.23], [3.56] и [3.63], в которых отмечалась
компактная формула записи высших уравнений КдФ
ди д &п д ,
dt дх Ьи (х) дх
где Но (у) = 1 при всех х. (Сравни формулы (10.7) и (5.28).)
Для модели НШ в быстроубывающем случае оператор Л был впервые введен в
работе [3.46] как оператор, для которого квадраты решений Поста уравнения
вспомогательной линейной задачи являются собственными. Более точно,
выполняется равенство
ЛF(x, X)^XF(x, X), (10,8)
где
I 0 /](-гД)\
F(x, л)= , , (Ю.9)
\ f\(*. *¦) 0
a fi,2(x, X)-компоненты столбцов решений Поста Т±(х, X). Теорема
разложения по функциям F(x, X) была доказана в работах [3.12-3.13] и
[3.59].
Для общего линейного дифференциального оператора первого порядка с
матричными коэффициентами Л-операгор был введен в работе [3.65]. Оператор
Л возникал и в работах [3.50-3.51] как средство для компактной записи
нелинейных эволюционных уравнений. В этих работах также было дано
обобщение Л-оператора для произведения решений двух вспомогательных
линейных задач.
250
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
9) В работе [3.62] было показано, что уравнения КдФ и НШ являются
гамильтоновыми по отношению к двум гамильтоновым структурам. В
быстроубывающем случае в [3.62] с помощью Л-оператора была построена
бесконечная последовательность гамильтоновых векторных полей,
инволютивных по отношению к этим двум скобкам Пуассона. В работе [3.29]
этот результат анализировался с точки зрения метода обратной задачи. На
примерах уравнений КдФ и НШ в быстроубывающем случае в этой работе была
построена иерархия симплектических структур, связанных с Л-оператором, и
было показано, что в канонических переменных типа действие - угол
применение оператора Л по существу сводится к умножению на спектральный
параметр "к.
В обзорной статье [3.31] оператор Л и его гамильтонова интерпретация
приведены для других интегрируемых нелинейных уравнений.
Также следует отметить работы [3.10-3.11], посвященные изложению
абстрактного гамильтонова формализма с двумя согласованными скобками
Пуассона. В качестве примера в этих работах рассматриваются нелинейные
эволюционные уравнения, допускающие представление Лакса. Показано, что
если Л-оператор является отношением операторов Якоби двух согласованных
пуассоновых структур, то эти операторы Якоби имеют нулевую скобку
Нейенхейса, известную из дифференциальной геометрии.
10) Приведенная в § 6 н 9 процедура вычисления скобок Пуассона
коэффициентов перехода является одним из методологических достижений г-
мат-ричного подхода. В ее основе лежит выражение (1.20) для скобок
Пуассона матрицы перехода Т(х, у, X), которое не зависит от граничных
условий. Они учитываются лишь в предельных переходах х, у-<-±оо и их
специфика проявляется в виде осциллирующих матричных множителей типа Е(у,
},), на которые следует сократить матрицу Т(х. у, Я),
Впервые такой способ вычисления был проведен для квантовой модели НШ в
обзоре [3.531 и применен к классическому случаю в работе [3.42].
Отметим фундаментальную роль скобки Пуассона (6.22) для коэффициентов
перехода а.(7.) и 5(р). Именно, запишем эту формулу в виде
