Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 79

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 180 >> Следующая

в интегралы движения, связаны одним условием.- условием (0). От него
можно освободиться, перейдя к объединению фазовых пространств ЖР е
Жр= U лГр.в. (9 81)
о<^е<2л
При этом в фазовом пространстве Жр пуассонова структура
(9.57) - (9.59) становится вырожденной.
Поучительно рассмотреть энергию и импульс отдельных мод. Для этого
перепишем выражения функционалов импульса Р и энергии HP=J3 р, сделав
замену
Р^Рр = Р-рЩ' р = -?=, (9.82)
2 у у.
не влияющую на уравнения движения, смысл которой станет ясен чуть ниже.
Имеем
Рр = J ? (Я) р (X) dX + 2 2 | - Vа2 - угр) - Р2 arccos -'j (9.83)
Яр =
;=! ' 4
f Xk (X) р (X)dX -j - V (со2 - у.2р])3-. (9.84)
J Зу.
Здесь выбрана главная ветвь функции arccos л:: для - имеем O^arccos д^л.
Энергия и импульс отдельной моды непрерывного спектра с номером X, где X
- из 1RM, даются формулами
E(X)=Xk(X) (9.85)
и
P(X)=k(X) (9.86)
(сравни с (9.80)). При этом импульс Р(Х) меняется на всей оси, а энергия
Е(Х) положительна и исчезает при Х=±оо, т. е. когда Р(Х) =0. Именно с
этой целью и был осуществлен сдвиг импульса Р на константу -р20. Закон
дисперсии мод непрерывного спектра имеет вид
Е = | Р | УР2 + со2. (9.87)
Вторые слагаемые в формулах (9.83)--(9.84) представляют собой вклад мод
дискретного спектра, отвечающих солитонам. Энергия и импульс солитона с
номером j имеют вид
Е, = (со2 - (9.88)
Р/=- Ую2 - у2р) - 2р2 arccos-- . (9.89)
2 со
§ 9. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
243
При этом, когда р, меняется от -ю/х до ю/х, импульс солитона монотонно
возрастает и пробегает зону Бриллюэна [-2яр\ 0]. Таким образом, имеем
неравенства
-2яр2^Р,<0. (9.90)
Закон дисперсии для солитонов уже нельзя задать в явном виде при помощи
'элементарных функций, однако при Р,~+0 и Pj-^2.np2 имеем,
соответственно,
?/ = ю | Р/1 + О (Р/) (9.91)
Pj=oo | Pj+ 2лрг | + 0( (Р., + 2лр2)г). (9.92)
Первая из этих формул асимптотически совпадает с (9.87).
Таким образом, в случае конечной плотности существуют две согласованные
ветви квазиклассического спектра возбуждений. Закон дисперсии для первой
ветви линеен при малых импульсах. Для второй ветви подобная линейность
имеет место для импульсов, меняющихся в окрестности концов зоны
Бриллюэна. Такая дисперсия типична для так называемых бесщелевых или
боголю-бовских возбуждений.
В отличие от быстроубывающего случая, законы дисперсии для мод
непрерывного спектра и солитонов существенно различаются. Поэтому здесь
нельзя думать, что моды непрерывного спектра можно получить сгущением или
каким-нибудь другим предельным переходом из солитонов.
В заключение этого параграфа рассмотрим динамику солитонов с
гамильтоновой точки зрения. Условие (0) приводит к существенному отличию
от быстроубывающего случая. Именно, хотя подмногообразие Г">е в фазовом
пространстве соответствующее /г-солитонным решениям, инвариантно
относительно динамики, иа нем не наследуется пуассонова структура из
Действительно, естественные координаты р}, qh j= 1, ..., п, на Г">в,
задаваемые формулами (9.39), связаны условием
П
2 5! arccos - = 0 (mod2n), (9.93)
и таким образом, Г",в нечетномерно. Поэтому симплектическая форма,
определяемая вложением Г",е в J?p.e, вырождеина и с ней нельзя связать
пуассонову структуру.
Альтернативный подход состоит в отказе от условия (0) и переходе к
фазовому пространству Jtv. Однако пуассонова структура на вырождеина, и
мы не можем определить по ней симп-лектическую форму, необходимую для
спуска на солитонные подмногообразия.
Указанное обстоятельство проявляется в том, что наивное условие р(^)=0
при всех % из не согласовано с корректны-
244 ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
ми скобками Пуассона (9.57) - (9.59). Мы видим еще раз, что в нашем
случае переменные дискретного и непрерывного спектра не отделяются друг
от друга согласованным с пуассоновой структурой образом.
Однако это препятствие можно преодолеть в случае всех высших уравнений
НШ. Поучительно рассмотреть сначала пример односолитонного решения
I _1_ Jepv(x-vt-x"I
ф (х, /) = р ----------, (9.94)
Т j + ev(*-iЧ-х0)
где
Qj 0
v = K0 = -оо cos - , х0= - lniy0, V-- oo sin- (9.95)
(см. § 11.8). При фиксированном 0 этому решению отвечает одномерное
пространство Гм, свободной координатой в котором является х0¦ Однако
динамику
x0(t)=x0 + vt, u = const, (9.96)
порожденную уравнением НШ, можно получить гамильтоновым образом, исходя
из гамильтониана
н скобок Пуассона где
Яй = - ("2 - (9-97)
Зх
{p,q} = 1, (9.98)
р =-1'1к, q - vx0. (9.99)
При этом, конечно, мы отказываемся от условия (0), и сама величина 0
формально не является аннулятором.
Аналогичные соображения относятся и к л-солитонному решению и отвечающему
ему подмногообразию Гп>е. В координатах q,, введенных в (9.39),
динамика по уравнению НШ зада-
ется гамильтонианом
Мо', =-^2 ((r)2-х2р/)з/2 (9.100)
3 •/.
/=1
н каноническими скобками Пуассона
{Ph <?г}=бк, j,l=l,...,n. (9.101)
Более того, динамике по высшим уравнениям НШ (см. формулы (9.71) и
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed