Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(9.79)) соответствуют гамильтонианы
/ ,Шп)/2 п
4so! - 2 ("2 - х2р )"2 (9.102)
к1 ^-J /=1
§ 9. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
245
для нечетных I и
для четных /.
Для нечетных / эти гамильтонианы получаются из локальных интегралов
движения /,|Р, если в (9.64) положить p(?i)=0. В случае четных / из
интегралов /г,р следует сперва вычесть величину
было гладким при ^=±<а, и затем положить p(?i)=0.
Скобки Пуассона (9.101) получаются из наивных скобок Пуассона (9.40)
после редукции p(?i)=0. Как уже отмечалось выше, наивные скобки Пуассона
допустимы для функционалов вида
где [(к) -гладкая функция на Кш, включая и ?i=±<a. В этом смысле
согласованы выбор скобок Пуассона (9.101) и только что описанная
регуляризация интегралов движения. Ясно, что при регуляризации величина 0
формально исчезает и тривиально находится в инволюции с р, и q
Обсудим теперь рассеяние солитонов с гамильтоновой точки зрения. В § II.8
было показано, что при рассеянии солитонов происходят лишь сдвиги
координат qp
При этом предполагается, что р,>р2> .. ->рп (сравни с аналогичными
формулами (8.10) - (8.13) для быстроубывающего случая).
с тем, чтобы подынтегральное выражение в (9.65)
F= ^f(k)P(k)dk + 0(Pl, ...,рп), (9.104)
q^) = q-> -f Aqi,
(9.105)
где
(9.106)
и
9/ = 2 arccos -- . j = \ , п.
(9.107)
(О
246
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Однако, в отличие от быстроубывающего случая, преобразование рассеяния
солитонов уже не является каноническим по отношению к скобке Пуассона
(9.101). В этом проще всего убедиться в случае рассеяния двух солитонов.
Имеем
w 1 - cos ------1
Aq2 = -Aqi = In V V 2 , (9.108)
К (Pi - p2)
и правая часть не является функцией только разности Pi-р2, поэтому
представление
Д(?1 = ??(РьР2)) д q WLPi'PA. (9.109)
dp i dp2
не имеет места.
Тот факт, что рассеяние солитонов не является каноническим по отношению к
скобке Пуассона (9.101), имеет естественное объяснение. Дело в том, что
асимптотические переменные Pi{±) - Pi и Яз{±) не обязаны иметь скобки
Пуассона вида (9.101); корректное вычисление их скобок Пуассона должно
использовать явные асимптотические формулы при |/|->-оо для решений
уравнения НШ в случае конечной плотности. Полученные таким образом скобки
Пуассона отличны от (9.101), и по отношению к ним рассеяние солитонов уже
канонично. Мы не приводим соответствующих вычислений, так как описание
асимптотической динамики всех мод модели НШ представляет собой трудную
вычислительную задачу, выходящую за рамки этой книги.
На этом мы заканчиваем первую часть книги, посвященную модели НШ с
различными граничными условиями: квазиперно-дическимн, н, главным
образом, условиями быстрого убывания и конечной плотности. Мы убедились,
что с этой моделью связаны интересные математические объекты.
1) Условие нулевой кривизны, порождающее уравнения движения.
2) Вспомогательная линейная задача, ее характеристики и их интерпретация
с точки зрения спектральной теории и теории рассеяния.
3) Формулировка обратной задачи как матричной задачи Римана.
4) Существование r-матрицы и фундаментальных скобок Пуассона и их роль в
построении представления нулевой кривизны.
5) Интерпретация коэффициентов перехода и дискретного спектра
вспомогательной линейной задачи как канонических переменных типа действие
- угол.
Описание этнх объектов для обоих граничных условий было иногда почти что
аналогично, а иногда обладало существенными отличиями, в особенности в
этом параграфе. Мы построили изложение таким образом, чтобы читателю
стало ясно, что указан-
§ 10. КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
247
ные структуры имеют достаточно общий характер и должны порождать и другие
интересные модели нелинейных уравнений. Во второй части книги мы в этом
явно убедимся.
§ 10. Комментарии и литературные указания
1) Интерпретация отображения 9~ как канонического преобразования к
переменным типа действие - угол впервые была предложена в работе [3.19]
на примере уравнения Кортевега - де Фриза. Именно там был вычислен образ
симплектической формы П при отображении 3~~х, задаваемом обратной задачей
для одномерного оператора Шредингера, и приведены канонические переменные
типа действие - угол. Аналогичное вычисление для модели НШ в
быстроубывающем случае при е=1 было проведено в работе [3.43].
Альтернативная программа для пересчета скобок Пуассона для моделей КдФ и
НШ впервые была проведена в работе [3.20] (см. также монографию [3.21]).
В случае модели НШ с граничными условиями конечной плотности изложенные в
§ 9 тонкости, связанные с корректной формой скобок Пуассона, в этой
работе не были отмечены.
В указанных работах при пересчете как симплектической, так и пуассоновой
структур важную роль играют тождества для решений вспомогательной
линейной задачи, позволяющие явно вычислять встречающиеся интегралы. Эти
тождества представляют собой выражение некоторых специальных однородных
форм четвертой степени от решений в виде полных производных. Сам факт
