Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
существования таких формул для разных моделей является своего рода
вычислительным "чудом". Классическая г-матрнца дает этому рациональное
объяснение (см. комментарий 3)).
2) Впервые понятие г-матрицы появилось в квантовом варианте метода
обратной задачи в работах [3.40-3.41], [3.44], [3.53]. Большое влияние на
эти работы оказали результаты Р. Бакстера по точно решаемым моделям
статистической физики [3.48] (см. также монографию [3.49]). Понятие г-
матрицы в той форме, в которой оно используется в этой книге, появилось в
работе Е. К. Скляиина [3.66], посвященной модели Ландау - Лифшица (см.
часть 11), в результате естественного квазиклассического предельного
перехода из квантовой задачи. После этого фундаментальная роль г-матрицы
в классическом методе обратной задачи стала общепризнанной (см. обзоры
[3.221, [3.30], [3.60]).
Рассмотрение быстроубывающего случая модели НШ на основании г-мат-ричного
подхода было осуществлено в работе [3.42].
3) Простой вывод в § 1 глобального соотношения (1.20) из инфинитези-
мального (1.18) является одним из основных формальных достижений метода
г-матрицы. Первый вариант доказательства формулы (1.20) повторяет
соответствующие рассуждения в квантовом случае (см., например, [3.44]).
Второй способ вывода формулы (1.20) был приведен в работе [3.58].
Утверждение, что подынтегральное выражение в (1.38) является полной
производной, представляет собой абстрактную форму упоминавшихся в
комментарии 1) тождеств.
4) Роль уравнений (1.40) - (1.41) для задания пуассоновой структуры
отмечалась в работах [3.2-3.3] и [3.30]. Уравнение (1.40), по аналогии с
квантовым случаем, называют "классическим условием унитарности-", а
уравнение (1.41) -"классическим, уравнением Янга - Бакстера" или
"классическим уравнением треугольников". В квантовом случае термин
"уравнение Янга - Бакстера" был введен в работе [3.44]. Подробнее об
истории этих названий можно прочесть в обзоре [3.30]. Фундаментальная
роль, которую играют решения уравнений (1.40)-(1.41) в построении
интегрируемых моделей, будет объяснена в части II.
5) С теоремой Лиувилля - Арнольда и, вообще, с гамильтоновой механикой
для систем с конечным числом степеней свободы можно ознакомиться
248
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
по учебникам В. И. Арнольда [3.1], Б. А. Дубровина, С. П. Новикова и
А. Т. Фоменко [3.16] и Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшида [3.32]. При этом в
первой книге используется симплектическая структура, в то время как в
двух других за основу взята пуассонова структура.
6) Рассмотрение квазипериодического случая модели НШ требует особого
подхода, основанного на изучении поведения решений вспомогательной
линейной задачи на римановой поверхности Г функции
Здесь Еп - границы разрешенных и запрещенных зон в спектре
соответствующего оператора S.Г, определяемые из уравнения
В случае, когда число зон конечно, уравнение (10.1) определяет
гиперэллпп-тическую кривую; функции ф(х), ф(х), участвующие в
соответствующей вспомогательной линейной задаче, называются
конечнозонными. Они допускают явные выражения через тэта-функции Римана
кривой Г. Альтернативно конечнозонные функции ф(х), ф(х) могут быть
определены как стационарные (т. е. не зависящие от () решения высших
уравнений НШ
Эти уравнения принято называть уравнениями Новикова.
Класс конечнозонных начальных данных инвариантен по отношению к динамике
модели НШ, которая становится линейной на многообразии Якоби (якобиане)
кривой Г. Конечнозонные функции ф(х), ф(х') плотны в множестве всех
квазипериодических функций. При L-t-oo конечнозонные решения уравнения НШ
переходят в миогосодитонные.
Теория конечнозошшх решений нелинейных эволюционных уравнений (с одной
пространственной переменной) берет свое начало от работы С. П. Новикова
[3.37]. Как теория конечнозониого интегрирования она оформилась в работах
Б. А. Дубровина и С. П. Новикова [3.14], А. Р. Итса и В. Б. Матвеева
[3.23], П. Лакса [3.61], Г. Маккина и П. ван Мербеке [3.631 и
В. А. Марченко [3.35], посвященных уравнению КдФ. Алгебро-
геометрический подход к интегрированию нелинейных эволюционных уравнений
с двумя пространственными переменными, основанный на аксиоматике так
называемой функции Бейкера-Ахиезера, был развит И. М. Кричевером в работе
[3.27]. Этот подход оказался весьма плодотворным также и для случая
уравнений с одной пространственной переменной. С современным состоянием в
теории конечнозонного интегрирования можно ознакомиться по обзорам
[3.15], [3.17], [3.27] и монографиям [3.21], [3.34], [3.36].
Явные формулы для конечнозонных решений уравнения НШ впервые были
получены в работах [3.24-3.26].
Построению канонических переменных типа действие - угол для уравнения КдФ
в периодическом случае посвящены работы [3.6] и [3.55]. Переменными типа
действие являются A-периоды формы pL(X)d(X) на кривой Г, а сопряженными к
ним углами являются координаты на якобиане. С последним обстоятельством
связана малая эффективность построения этих переменных в общем
