Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(1па(7), Ь(р)}= -Ь (и) (10.10)
/. - (X
н разложим обе части ее по обратным степеням %. Поскольку функция 1
- In а (Я) является производящей для локальных интегралов движения /п> i
отсюда получаем
{/n, 5(p)} = -l,u"-16(.u). (10.11)
Эти формулы определяют временную динамику функции 5 (р.) по высшим
уравнениям НШ: для п-го уравнения НШ
(и) ={/", Ь(р)} (15.12)
dt
из (10.11) имеем
b (u, t) = е~^П~ЧЬ (р). (10.13)
Это наблюдение легло в основу переноса метода обратной задачи на
квантовый случай в работе [3.39].
11) Использованные в § 7 формулы (7.45) - (7.46) были доказаны в § 11.2
лишь для случая, когда функции ф(х), ф(х) принадлежат Li(-оо, оо). Однако
легко убедиться, что для шварцевских функций ф(х), ф(х) предельные
значения в указанных формулах принимаются в смысле Шварца.
12) Для быстроубывающего случая модели НШ канонические переменные типа
действие - угол были введены в работе [3.43] для е=1 и в работе [3.20]
для в=±1.
§ 10. КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
251
13) Как указывалось в § 7, описание образа алгебры наблюдаемых на фазовом
пространстве Мц при отображении SF даже в простейшем случае е=1
представляет собой трудную задачу. Возможно, что рассмотрение в качестве
наблюдаемых только вещественно-аналитических функционалов (с
вариационными производными из пространства Шварца) является слишком
ограничительным. Одним из альтернативных вариантов условий на допустимые
функционалы является подходящее обобщение понятия шварцевскнх функций на
функционалы Р(ф, ф). Строгое исследование этой проблемы представляет
интересную задачу глобального анализа,
14) Фазовое пространство очевидным образом является связным. С другой
стороны, в случае е=-1 часть Мъ, выделяемая условием (А),-
подмногообразие - распадается на компоненты
н поэтому несвязно. Дело в том, что условие (А) запрещает выход нулей Xj
на вещественную ось и появление кратных нулей. Разумным образом
пополненные Шп должны пересекаться в JCo именно по этим (вещественным или
кратным) нулям. Задача введения глобальной топологии в Jf0 и, в
частности, корректное определение "листов" Шп не решена и представляется
нам весьма интересной,
В то же время подчеркнем еще раз, что Мъ открыто и плотно в Мй и его
вполне хватает для описания динамики модели НШ, В частности, для соли-
тонных решений кратные и вещественные нули можно получить надлежащим
предельным переходом в явных формулах.
15) Перенос иерархии пуассоновых структур на алгебру наблюдаемых в
координатах р(Я), ф(Я); pj, фд pj, обсуждавшийся в конце § 7, можно
осуществить и непосредственно, используя свойство (10.8) оператора Д, Для
моделей КдФ и НШ соответствующие вычисления (в терминах симплектичс-ских,
а не пуассоновых структур) были проведены в работе [3.29].
16) Гамильтонова интерпретация рассеяния солитонов в быстроубывающем
случае, изложенная в § 8, впервые была дана в работе [3.28] и
использовалась там для квазиклассического квантования, В частности,
выражение
CKU'i Рп\ Pi.....Рп> г
е является квазиклассическим приближением матрицы
рассеяния п квантовых солитонов.
17) В высшей степени желательным является построение матричного аналога
процедуры сгущения нулей, приведенной в § 8 для скалярной задачи Римана.
Более точно, речь идет о получении решений регулярной задачи Римана из §
11.1-11.2 с матрицей G(X) вида
как соответствующих пределов при п->-оо решений тривиальной задачи Римана
с п нулями. Сложной является задача описания сгущения проекторов Pj,
участвующих в построении соответствующих матричных множителей Бляшке -
Потапова.
Решение этой задачи позволило бы получить асимптотику общего решения ф(х,
t) уравнения НШ при t-f± оо сгущением явных формул для п-соли-тонного
случая из § 11.5.
18) Наивные скобки Пуассона (9.40) для модели НШ в случае конечной
плотности были предъявлены в работах [3.20] и [3.28]. Процедура
построения корректных скобок Пуассона актуальна также и для уравнения КдФ
(см. работу [3.54]), и для модели Тода (см, часть 11), Вообще, подобная
модификация скобок Пуассона возникает каждый раз, когда непрерывный
спектр вспомогательной линейной задачи не заполняет всю ось (т, е. имеет
лакуны).
лГ0= U
(10, 14)
(10,15)
252 гл. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
19) Корректные скобки Пуассона (9.57) - (9.59) можно интерпретировать
как скобки Пуассона - Дирака, порожденные наивными скобками Пуассона
(9.40) и связями
0 = сь ф(со)+ф(-со) =с2, (10.16)
где Ci, Сг - произвольные константы.
Напомним определение этих скобок для системы с конечным числом степеней
свободы, описываемой каноническими координатами pjt цр.
{Pl, 4iHSji. /. •••. п, (10.17)
и связями
Ф h(p,q)=Ch, k=l ,...,т,т<п. (10.18)
В случае, когда матрица М скобок Пуассона
Мц = {Фи ФД, I, /= 1, ..., т, (10.19)
невырожденна, скобки Пуассона - Дирака имеют вид
m
if, g)* = •;/, g\ + 2 !'f' фс} мИ {8'ф/) - (10-20>
1,/=1
где Mlj - матричные элементы матрицы, обратной к М (см. [3.52]).
Скобки Пуассона (9.57) - (9.59) получаются формальным распространением
