Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
гамильтониан
H = -'2iSn-Sn,1 (2.32)
И
приводит к уравнениям движения
-- = Sn Д (5"+1 -Г Sn-i), (2.33)
at
для которых не существует представления нулевой кривизны. Во-вторых, наша
модель на решетке также является разностным аналогом модели МГ и имеет ее
как непрерывный предел.
Этот предел, как обычно, осуществляется сгущением решетки. Введем шаг
решетки А и положим х=пА. Будем считать,
что длина вектора Sn совпадает с А:
Sn = s2 z= А2, (2.34)
§ 2. ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ ПА РЕШЕТКЕ
269
и при Д->0 положим
Sn = AS (X),
(2.35)
где S(a) -гладкая вектор-функция с длиной 1. Тогда
S№1 = AS (х) + А^(х) +^--^(х)+ (2.36)
dx 2 dx2
так что
(2.37)
где использовано условие 52(л:) = 1, приводящее к соотношениям
и после изменения масштаба времени t^A-t отсюда получаем гамильтониан н
уравнения движения модели МГ.
Предельный переход в представлении нулевой кривизны проводится
аналогично; непрерывный предел скобок Пуассона получается из (2.22) по
правилу
Модель анизотропного магнетика - модель Л - Л - также является
непрерывным пределом соответствующей модели на решетке, которую мы опишем
ниже в гл. III. Там мы убедимся, что эта последняя модель является весьма
универсальной.
4. Модель РНШг. Мы покажем, что рассмотренная только что модель
магнетика на решетке РМГ после небольшой модификации может быть
интерпретирована как разностное приближение к модели НШ.
Начнем с фазового пространства. Естественные переменные для модели НШ на
решетке фп, имеют скобки Пуассона
(2.38)
Из формулы (2.37) видно, что
(2.39)
- у), х = пА, у = тА.
д
(2.40)
{фп, Фт} = {Фп, Фт} = 0, {ф", фт}.= <6"т. (2.41)
270 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Положим
S+n = si + lS*n = 2{j фя]/1 + | фя I2, (2.42)
Vg Г 4
s; = sln-isl= 2{ v флЛ + |2,
/г p 4
и при g<0 будем считать, что переменные ф", фп меняются внутри круга
|фп|2=^-4lg. Тогда в этом случае переменные 5П пробегают сферу радиуса s,
s2=4/g\ (2.43)
в [R3. При g>0 эти переменные меняются на верхней поле двуполостного
гиперболоида
(S2)2-(S*)2-(S2)2 = 4/g\ (2.44)
Скобки Пуассона (2.41) приводят к соотношениям
{SI Shm) = - Г%иЛ, (2.45)
где fabc-структурные константы алгебр Ли группы 5(7(2)
(/аЬс = е"Ьс) или S(7(l, 1) для случая g<0 или g>0 соответственно. Ниже
мы ограничимся рассмотрением компактного случая ?<0.
Формулы (2.42) имеют элементарное геометрическое происхождение. При
отображении Qj{°°} на сферу S2
S+ = S1+iS2=----- -, 5 =S1 - iS,= 2~ - ,
+ 1 2 1 + |г|2 " 1 2 1+|2р 3 1+|гР
(2.46)
(обратная стереографическая проекция) стандартная симплек-тическая форма
на S2- форма площади со (см. § 1) - переходит в форму
to = A. . dz Л & . , (2.47)
t (I + |z|*)* V
Эта форма приводится к каноническому виду
со "=-с!фДс(ф (2.48)
с
преобразованием растяжения
2=/(|ф|2)ф, ?=/(|ф|2)ф, (2.49)
§ 2. ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ НА РЕШЕТКЕ 271
где
ПХ) = -ГТ=7- (2'50)
Формулы (2.42) получаются в результате композиции этих преобразований
(где вместо сферы S2 взята сфера радиуса s = =--2/g) и операции
альтернирования знака
фп^(-1)"фп, фп^(-1)пфп> (2.51)
которая, очевидно, сохраняет скобки Пуассона (2.41). Смысл последнего
преобразования станет ясен чуть ниже.
Подставим теперь выражения (2.42) для Sn в уравнения движения модели РМГ;
при этом вместо уравнений (2.24) удобнее использовать уравнения движения,
порожденные гамильтонианом
Hreg=-sH-4^(Sn - s), (2.52)
П
где Н дается формулой (2.23). Правая часть соответствующих гамильтоновых
уравнений движения отличается от (2.24) множителем -s и слагаемым 4S"AS0.
В переменных ф", фп эти уравнения эквивалентны уравнению
1 1 ^п,п-1 /г, со\
t - = 4ф" + - Ь- , (2.53)
" ^я.л+х Qn,n~ i
где
Рп,п+1 = - ^фл + Фл+1 1 + | Фп I" У 1 +
Фл+1 | "Ь
|2
+ ~~ фп I фп+l I2 + "Г (I фп |2 Фч+1 + фпфп+l) -----¦- 4 I I
(2.54)
Qrt,rt+x = 1 + (| 'фл |2 + | tyn+i |2 + (Н^л+х + tyn 4Vt-x) x
4
X Y1 + ±\^у1 + 1 флч-i |2 " | Фл |21 фл+i |2). (2.55)
Полученное уравнение для ф" имеет весьма громоздкий вид. Однако в
непрерывном пределе
х=пА, g = xA, ф"=УАф(х), (2.56)
где ф(х)-гладкая функция, оно переходит в уравнение НШ.
272 гл- !¦ ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ II ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Действительно, используя элементарные формулы
л/' 1 + - | Фл |2= 1 + Фл |2 + 0(Д3), Qn,n+1= 1 | Фп |г"("0(Д3),
' 4 8
(2.57)
уравнение (2.53) легко преобразуется к виду
i -- = - (фп+i + фп-i - 2фп) + 2g | фп [2 фп 4- О (А31-72) (2.58)
at
и после замены ^->-Д27 в пределе Д->0 переходит в уравнение НШ.
Таким образом, модель РМГ, записанная в новых переменных, может
действительно быть интерпретирована как разностная аппроксимация для
модели НШ; в этом качестве будем называть ее моделью РНШ,.
Подчеркнем, что непрерывные пределы от модели РМГ к моделям МГ и НШ
существенно различны. Отметим также, что альтернирование знака в (2.42)
играет существенную роль; без него в непрерывном пределе нелинейное
слагаемое 2и|ф|2ф не возникает.
Очевидно, что модель РНШ1 допускает представление нулевой кривизны с
матрицами Ln(t, X) и Vn(t, X):
