Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Это соотношение можно записать только через симплектическую форму о",
если воспользоваться формулой Стокса. Именно, натянем на контур "f пленку
Blt лежащую в выбранной карте на М. Тогда имеем
Проверим, что описанная конструкция действительно дает выражения для
импульсов в рассмотренных выше примерах. Для моделей НШ и SG это
элементарно, поскольку форма ю точна, (o=d0, где
ю = с(0.
(1.55)
П
<д(и) = ^Q(u(x))dx, 0 (и (х)) = ^ 9а {и (*)) dua
(х) (1.56)
и
(1.57)
иия формы 0 к касательному вектору - ив локальных коорди-
dx
натах задается формулой
(1.58)
(1.59)
V
(1.60)
9нш = - (фс1ф - Ф^ф), 0Sa=nd<p
(1.61)
§ 2. ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ НА РЕШЕТКЕ
263
после чего остается сравнить общую формулу (1.58) с формулами (1.1.26)
части I и (1.27).
Для моделей МГ и JI - Л эта проверка более интересна. Именно, в этом
случае форма о" совпадает со стандартной формой площади на сфере S2,
нормированной условием
S
о" = 4 д. (1-62)
S2
В отличие от предыдущих примеров, форма со не точна и поэтому имеет лишь
локальную первообразную Q = d~liо. Нетрудно убедиться, что общее
выражение (1.59) совпадает с формулой
(1.10), если в качестве карты на сфере S2 взять область
S2\{(0, 0, -1)} и использовать переменные Si и S2 в качестве
локальных координат. Действительно, в этих координатах имеем
to = - l!S'-±lS?, 9 = ¦VSi-'VSs,. ; (1.63)
So 1 ~Г So
где S3 = Y 1 - Si - S;.
В локальных координатах другой карты на S2 мы получим для импульса Р
другое явное выражение. Однако численно (в односвязных картах) эти
выражения отличаются лишь на целое кратное площади сферы S2- величины 4л.
Действительно, из формулы (1.60) следует, что упомянутая многозначность
функционала импульса связана с неоднозначностью выбора пленки Вт Однако
для различных выборов пленки выражения для Р
отличаются лишь на целое кратное периода $ о" формы о", рав-
$2
ного 4л. Поэтому формулу (1.60) для нашего случая можно окончательно
записать в виде
^ со (mod 4л). (1.64)
Из этой формулы очевидна упоминавшаяся выше 0(3)-инвариантность импульса
(по mod4n) для периодических граничных условий.
С еще одним важным примером многозначного функционала мы познакомимся в §
5 при обсуждении других моделей.
§ 2. Примеры моделей на решетке
В предыдущем параграфе мы имели дело с моделями, описываемыми
эволюционными уравиеииями в частных производных, причем пространственная
переменная х являлась одномерной и непрерывно менялась на окружности
(конечный интервал с отождествленными концами) или на всей вещественной
оси.
264
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Однако в приложениях важную роль играют и модели на решетке, когда
пространственная переменная принимает дискретные, скажем целочисленные,
значения. Такая ситуация может возникнуть искусственно, при разностном
приближении к дифференциальным уравнениям, а также появиться естественно,
скажем, при описании колебаний кристаллической решетки в физике твердого
тела. Ясно, что если решетка конечна (аналог окружности в непрерывном
случае), то эволюционная система имеет конечное число степенен свободы и
фактически является объектом классической механики.
Итак, будем считать, что "дискретизованная" пространственная переменная п
принимает целые значения п пробегает множество всех целых чисел Z (аналог
вещественной оси) или его конечное подмножество; чаще всего мы будем
иметь дело с аналогом окружности - л = 1, А'; Лг+1 = 1, т. е. с
периоди-
ческой решеткой Z.v=Z/ATZ. Временная переменная t по-прежнему считается
непрерывной и пробегает вещественную ось.
Условие нулевой кривизны естественным образом обобщается на случай
решеточных моделей. Базой расслоения является дискретизованное
пространство-время ZxR1 или Z.vXlR1, а слоем - вспомогательное
пространство См- Роль ковариантнон
производной Хг = --U(х, t, X) (или, точнее, бесконечно мало-
. дх
го параллельного переноса вдоль пространственного направления Qn = exp §
U (х, t, X)dx; см. формулу (1.2.14) части I) играет
А Г!
матрица Ln(t, X), осуществляющая перенос из точки решетки с номером л в
точку с номером п+ 1. Параллельный перенос по временному направлению по-
прежнему задается ковариантной
производной - Vn(t, X). Уравнения ковариантного постоянен
ства вектора Fn(t, X)-формулы (1.2.1) - (1.2.2) части I - принимают вид
Fn+i = Ln (t, X) Fn, (2.1)
dF
~-^ = Vn{t,X)Fn. (2.2)
at
Условие совместности этой системы выглядит следующим образом:
dLn {t' Ц + Ln (t, к) Vn (t, к) - Vnn (t, k) Ln (t, X) = 0 (2.3)
at
и представляет собой условие нулевой кривизны для обхода вдоль
элементарного контура на базе с вершинамй в точках (п, t), (л+1, t),
(л+1, t + dt) и (л, t+di). Конечно, из (2.3) следует исчезновение
кривизны и вдоль произвольного контура.
§ 2. ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ НА РЕШЁТКЕ
265
Поэтому формулы (2.3) и (2.1) - (2.2) будем называть, соответственно,
условием нулевой кривизны и представлением нулевой кривизны для
решеточных моделей. Уравнение (2.1) будет играть роль вспомогательной
