Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
тривиальном расслоении К2Х С2, где пространство-время R2 играет роль
базы, а значения вектор-функции F(x, t, X) лежат в слое С2. При этом X -
дополнительный комплексный параметр. Уравнения (2.1) и
(2.2) показывают, что вектор F ковариантно постоянен, а условие
совместности (2.10) означает, что связность (U, V) имеет нулевую
кривизну. Поэтому запись нелинейного уравнения в виде (2.10) мы называем
представлением нулевой кривизны.
Коэффициенты связности U (х, t, X) и V (х, t, к) меняются при локальном
изменении базиса в слоях. Преобразование
F(x,t,X)~G(x,t,X)F(x,t,X), (2.12)
индуцированное заменой базиса в слое при помощи матрицы G(x, t, /,),
компенсируется преобразованием
и ^ - СГ1 + GUG'1,
дх
(2.13)
у - G^1 + GVG1.
dt
Это преобразование в физической литературе принято называть
калибровочным, и мы будем использовать этот термин. Ясно, что
калибровочное преобразование сохраняет условие нулевой кривизны. Таким
образом, представление уравнения (1.1) в виде условия совместности (2.10)
справедливо для целого класса калибровочно эквивалентных связностей.
Опишем теперь параллельный перенос, определяемый связностью (U, V).
Рассмотрим контур ^ на R2 с начальной точкой (х0, t0) и конечной точкой
(х, t). Параллельный перенос из точки (х0, to) в точку (х, t) вдоль
контура ^ задается матрицей
Qy = exp ^Udx + Vdt^j ,
(2.14)
§ 2. УСЛОВИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ 25
где интеграл понимается как мультипликативный. Здесь и ниже
мы временно опустили в обозначении матриц U и V их зависи-
мость от к.
Более точно, рассмотрим разбиение контура у N-1 промежуточными точками на
последовательные подконтуры ^1, • • • . . . , уу. Введем матрицы
Ln = 1 + J (Udx -'r Vdt), (2.15)
Уп
где / - единичная матрица 2X2, и положим
N
о" = Ц Ln = LN ... Lj. (2.16)
П - 1
Тогда .матрица QT есть предел Q.v при бесконечном измельчении разбиения
контура у.
В физической литературе QT называется у-упорядоченной матричной
экспонентой.
Результат параллельного переноса вектора F вдоль контура у дается
формулой
F^=Q.^F. (2.17)
Другими словами, векторное поле /гт, заданное вдоль контура у,
коварпантно постоянно.
Очевидно, что имеет место формула суперпозиции
Qyi+v, = Qv,Qvi> (2-18)
где считается, что конечная точка контура у, совпадает с начальной точкой
контура у2 и через ^t + Тг обозначено объединение контуров ^1 и у2 в
указанном порядке.
При калибровочном преобразовании (2.13) матрица параллельного переноса
преобразуется следующим образом:
Qr^G(x, OQrG-^Xc, t0). (2.19)
Исчезновение кривизны связности означает, что QT зависит только от
начальной и конечной точек (х0, /") и (х, t), а не от
соединяющего их контура у. Это позволяет по вектору F (х0,
г0)
построить векторное поле на R2
F(x,t)=Q1F(xa,t0), (2.20)
удовлетворяющее системе уравнений (2.1) -(2.2). Для замкнутого контура у
исчезновение кривизны связности означает, что параллельный перенос вдоль
у тривиален:
Йт=/ (2.21)
независимо от выбора начальной точки. Таким образом, локальное условие
нулевой кривизны эквивалентно формуле (2.21).
26
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
Приведем первое приложение условия нулевой кривизны, иллюстрирующее его
полезность. Покажем, что уравнения, допускающие представление нулевой
кривизны, обладают бесконечным набором интегралов движения - законов
сохранения.
Для этого зафиксируем момент времени /=/" и рассмотрим параллельный
перенос вдоль оси х. Условие ковариантного постоянства имеет вид
и представляет собой линейную задачу со спектральным параметром X. Ее
принято называть вспомогательной линейной задачей.
Основной характеристикой этой задачи является матрица монодромии, которую
мы введем здесь для квазипериодического случая. В терминах матриц U и V
условия квазипериодичности переписываются следующим образом:
Матрица монодромии представляет собой матрицу параллельного переноса
вдоль контура t=t0, -L^x^L, ориентированного в порядке возрастания х:
Условие нулевой кривизны приводит к замечательной связи матриц монодромии
при разных значениях t. Для вывода рассмотрим замкнутый контур у,
представляющий собой прямоугольник, изображенный на рис. 1. В силу (2.21)
и свойства суперпозиции (2.18) для такого контура ч имеем
^- = U(x, t0,X)F
ах
(2.22)
U (х + 2L, t, X) = Q1 (0) U (х, t, X) Q (0), V (х + 2L, t, X) = Q"1 (0) V
(х, t, X) Q (0), где Q(0) - диагональная матрица
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
-L
S-JTI1 (У S+TL (/,) = /,
(2.27)
где
(2.28)
Из условий квазипериодичности (2.24) и определения упорядоченной
экспоненты получаем, что матрицы S+ и S_ подобны:
S+ = Q-1(0)S_Q(0). (2.29)
§ 2. УСЛОВИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ 27
Таким образом, соотношение (2.27) принимает вид
тL (х, g Q (0) = s+ (g g tl (x, g q (0) S;1 (g g, (2.зо)
что означает, что матрицы TL(X, t)Q(0) в разные моменты времени подобны.
В частности, из (2.30) получаем важное соотношение
tr ад, д<Э(0)=1гад, д<э(0), (2.31)
где tr означает матричный след в С2. Это соотношение означает, что след
