Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
фиксированном х имеют место следующие асимптотики:
(х,к) = j +о(1), lmk>0, |Л|->оо, (5.26) е-лхнт? (x,k)=^°'j+o (1)
(5.27)
и
(х,Х)= j + о(1), lmX<S0, |Л|-*-оо, (5.28)
e-i>.x/iT^ (х,к) = ^ ° ] + о (1). (5.29)
Свойство инволюции переносится и на комплексные к и принимает вид
(х, к) = оТР (х, к), (5.30)
где ImX^O, и
Т~\(х, X) = оТ-] (хД), (5.31)
где 1ш?.^0 и а=сц при х>0, a=ia2 при х<0.
В случае, когда функции ф(х), ф(х) отличны ог нуля лишь в интервале -
q^x^q, матрицы Т±(х, к)Е(-х, X) являются целыми функциями
экспоненциального типа q. Действительно, как нетрудно убедиться из (5.8)
и (5.13), соответствующие ядра Г+(х, z) и Г_(х, z) исчезают при z>2q-х и
2<-2q-x соответственно.
Для использования в дальнейшем нам понадобятся формулы, связывающие ядра
Г±(х, г) на диагонали z=x с
44
ГЛ. 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
матрицей U0(x):
и
[о3, Г_ (лг, х) ] =a3U0(x) [а3, Г + (х, х) ] =-03UC(X) .
(5.32)
(5.33)
Для доказательства (5,32) достаточно заметить, что из интегрального
уравнения (3.34) следует равенство
Поскольку диагональная матрица ?o(s) коммутирует с а3, отсюда получаем
(5.32). Формула (5.33) доказывается аналогично.
Заканчивая обсуждение свойств решений Поста, упомянем, что более
традиционный для теории рассеяния метод их иссле-. дования основан на
интегральных уравнениях
Т_ (х, к) = Е (х, к) -f ^ Е (х - z, к) U0 (г) Т_ (г, к) dz (5.36)
которые получаются при вещественных к предельным переходом при у->-±оо из
уравнений (3.26) и (3.27). Использованный нами способ более
предпочтителен, поскольку в интегральных представлениях (5.10) и (5.16)
вся зависимость от к локализована в элементарных функциях ехр{±йл:/2}.
Введем теперь аналог матрицы Ть(к) - приведенную матрицу монодромии. При
вещественных к она определяется следующим образом:
Для доказательства существования предела (5.38) заметим, что матрицу
перехода можно представить в виде
Т (х, у, к) = Т+ (х, к) 7? (у, к) = Т_ (х, к) TZ1 (у, к), (5.39)
так как правые части в (5.39) удовлетворяют как дифференциальному
уравнению (3.5), так и начальному условию (3.6). Из
(5.39) видно, что матрица 7'+1(х, к)Т-(х, к) не зависит от х.
Покажем, что она совпадает с пределом (5.38).
Г (х, у, 2y - x) = jU0(y),
(5.34)
так что из (5.8) получаем
-ОО
(5.35)
X
-ОО
и
оо
Т+ (х, Ь) = Е(х,к)-$?(х-г, к) и0 (г) Т+ (г, к) dz, (5.37)
X
Т(к)- lim ? (-х, X) Т (х, у, X) Е (у, к).
(5.38)
§ 5. МАТРИЦА МОНОДРОМИИ В БЫСТРОУБЫВАЮЩЕМ СЛУЧАЕ
45
Действительно, положим
Т(к) = Т?(х, к)Т_(х,к),
(5.40)
откуда
Т- (х, к) = Т+ (лг, к) Т(к), Подставляя (5.41) в (5.39), получаем, что
Т (х, у, к) = Т+ (х, к) Т (к) TZ1 (у, к).
(5.41)
(5.42)
Отсюда на основании граничных условий (5.22) заключаем, что предел (5.38)
существует и совпадает с выражением (5.40).
Положив в (5.38) х-L и у = -L, получаем частный случай этой формулы:
Средний множитель Т (L, -L, X) в правой части можно интерпретировать как
матрицу монодромии TL(k) периодической задачи с функциями ф(А'), ф(х),
продолженными с интервала (-L, L) периодическим образом (допуская
разрывы). В этом смысле говорят, что матрицу Т(X) можно рассматривать как
периодическую матрицу монодромии TL(k) в пределе бесконечного периода L-
>-оо, сокращенную на тривиальные осциллирующие множители.
Для приведенной матрицы монодромии Т(к), как и для мат рицы Ть(к),
выполняется свойство инволюции
За функциями а(к) и Ь(к) мы сохраним название коэффициентов перехода. Они
удовлетворяют соотношению нормировки
В терминах коэффициентов перехода предельное соотношение (5.43) вместе с
его интерпретацией переписывается в виде
Более тонкие свойства этих коэффициентов будут исследованы в следующем
параграфе.
Т (k) = lim Е (- L, к) Т (L, -L,k)E (- L, к). (5.43)
Т (к) = оТ (к) о,
(5,44)
так что она представляется в виде
(5.45)
а(к) |2-г\Ь(к) |2=1.
(5.46)
а (X) = lim eihL al (к), b (к) = lim (X). (5.47)
46 ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
§ 6. Аналитические свойства коэффициентов перехода
Приведем несколько удобных представлений для коэффициентов перехода. Во-
первых, используя унимодулярность Т+(х,к) и представление (5.40),
получаем для а (к) и Ь(к) выражения
а (к) = det (Т^ (х, к), ТУ (х, а)), (6.1)
b (к) = det (Т+] (х, к), 7'2' (х, к)), (6.2)
где мы употребили введенное выше обозначение для матрицы через ее
столбцы. Из свойств аналитичности столбцов 1*У(х, к), T+2>(x, а) и
асимптотик (5.26), (5.27) получаем, что а (к) аналитически продолжается в
верхнюю полуплоскость Imk^O и имеет там асимптотику при |^|->-оо
а(Х) = 1 + о(1). (6.3)'
Коэффициент а (к) аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость;
обозначая это продолжение через а*(к), имеем
а* (к) =а(к), ImXs^O. (6.4)
Выражение (6.2) и свойства аналитичности столбцов Т±\х, к) показывают,
что Ь(к), вообще говоря, не допускает аналитического продолжения в
комплексную плоскость. Однако для финитных функций ф (лг), ф(дс)
коэффициенты а (к) и Ь(к) являются целыми функциями.
Приведем теперь интегральные представления для а(к) и Ь(к), которые
