Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 20

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 180 >> Следующая

И
(х, X) = lim Т (х, у, X) Ер (у, X). (8.23)
г/-з- оо
Для доказательства достаточно записать Т(х, у, X) в виде
Т (х, у, X) = Т± (х, X) 7Д1 (у, X) (8.24)
и воспользоваться асимптотиками (8.20) и (8.21).
3) Определители решений йоста совпадают с определителем Е"(х, X):
del Т± (х, X) = det Ер (х, X) = 2к (^~ к), (8.25)
так что матрицы Т±(х, X) вырожденны при ?,=±со.
§ 8. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. РЕШЕНИЯ ПОСТА
59
4) При X из R а имеет место свойство инволюции
Т±{х, X) =GiT±(x, X)Oi (8.26)
и аналогичное соотношение для Е"(х, X), которые совпадают с
(5.19) при 0. Ядра Г±(+ у) также обладают этим свойством и поэтому
могут быть записаны в виде
о - ) • (8.27)
а±/
5) Из интегральных представлений (8.13) и (8.14) и свойств аналитичности
Е"(х, X) следуют аналитические свойства решений Поста: первый столбец
ri3)(x, X) матрицы Т-(х, X) и второй столбец Г(r) (х, X) матрицы Т+{х, Я.)
аналитически продолжаются на лист Г+ римановой поверхности Г, а
столбцы Т+^ (х, X) и
Т-'1 (х, X) аналитически продолжаются на лист Г- При
фикси-
рованном х имеют место асимптотики при [Я[->-оо
- 'Н ( 1 \ / | 1 -р X - k | \
+ т1 (х,х) = ( цх-k) J + о ^ уГ|-j. (8-28)
СО
ikx
i (k - X)
e - rf (*Д) = ш (r) +0 fl 1 + ^ kl ) ,
(8.29)
где X на листе Г+, и
е
го
Л 7^ (х, X) = I 6 ie 1+0 ЯЦА-Н ) , (8,30)
i(X - k)T I V 171 е
со
ikx ( i (k - I) \
e *T^(x,X)= со +0 () > (8-31)
l
где X на листе Г-
Отметим, что для X из Г+
k = X О ( -j-- ) (8.32)
при | XI-*-°о, 1тЯ>0 и
k = -X + 0 (8.33)
при [Я[->-00, 1т ЖО. Поэтому для оценки остатков в формулах
(8.28) - (8.31) следует иметь в виду, что в первом случае 1 +
Со ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
+А,-k=0( 1), а во втором случае 1+Х-& = 0([^[). На листе Г_ эти случаи
меняются местами.
6) Свойство инволюции (8.26) переносится и на аналитически
продолженные столбцы матриц Т±(х, X). Для этого введем инволюцию Р на Г,
при которой Х>-+Х, k^-k. Более формально ее можно определить как
Р(Х,е) = (Х,-е), (8.34)
так что она переставляет листы Г+ и Г- Имеем
Е"(х, X) =о1Е(1(х, Р(Х))аи (8.35)
откуда получаем, что
o1filJ(x,X)^Tt)(x,P(X)), (8.36)
где для знака + X лежит ка ГС, а для знака - соответственно на Г+.
На поверхности Г можно ввести и вторую инволюцию Х^Х, k(-"--k. Более
формально эту инволюцию можно задать следующим образом:
J(Ke) = (l,e), (8.37)
так что она оставляет на месте листы Г±. При всех А, из Г имеет
место формула
Вр (х, X) = -'(X - k) gi?p (jf> j {X)) рз> (8 38)
CO
которая переносится и на соответствующие столбцы решений Иоста. Имеем
Тп2 (a, J (л)) = Д+А afV (,t) X) (8.39)
ICO
и
(X, J (X)) = - а{Г{:1 {х, X), (8.40)
ив
где X лежит на соответствующих листах Г±. В частности, отсюда получаем
связь значений столбцов матриц Т±(х, X) на верхних и нижних берегах
разрезов соответствующих листов аналитичности:
Г(± (х, X - Ю) = ajV (х, X + *0) (8.41)
/со
и
f(l}(x,X - i 0) = - h±±aiT(i{x,X + Ю), (8.42)
ICO
где X вещественно, \Х\^а>.
§ 9. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕХОДА 6t
На этом мы заканчиваем перечисление свойств матриц Т±(х, к).
Как и в быстроубывающем случае, существует приведенная матрица монодромии
Тр(к), осуществляющая связь решений Т.(х, к) и Т-.(х, к):
Т_(х,к)=Т+(х,к)Тр(к). (8.43)
Матрица Тр(к) определена и унимодулярна при к из Кш, кф ффа. При таких к
она может быть также получена как предел
ТР(к) - lim Ер1 (L,k)Q(Q)T (L, - L,k) Ер(- L,%). (8.44)
Из свойства инволюции при к из следует, что опять имеется соотношение
Тр(к)=а1Тр(к)а1, (8.45)
позволяющее представить матрицу Тр(к) в уже привычном виде
'а (к) Ь0(к)
Тр (к) = р _р . (8.46>
PW \bp(X) ар(Х)!
Коэффициенты ар(к) и Ьр(к) будем по-прежнему называть коэффициентами
перехода. Унимодулярность Тр(к) приводит к соотношению нормировки
ka)i2-iMMi2=i. (8.47)
Дальнейшие свойства ар(к) и Ьр(к) будут приведены в следующем параграфе.
§ 9. Случай конечной плотности. Коэффициенты перехода
Начнем с перечисления свойств коэффициентов перехода, взяв за образец
быстроубывающий случай. Из соотношения
(8.43) и (8.25) немедленно получаем представления
ае <*>= " det <Г-1} <*' Т^ 1>
2.R (А - R)
bР М = " det (7^ ^ Т- (9'2)
2 R (А - R)
обобщающие формулы (6.1) и (6.2).
Из (9.1) следует, что коэффициент ар(к) аналитически продолжается на лист
Г+, исключая точки ветвления Я=±со. Из
(8.28) и (8.29) получаем, что при |Я[-*-оо ар(к) имеет асимптотику
ар(Я) = со5у+г^-siny + (9'3>
'бг
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
Другими словами, при 1тЯ>0 и
ар(Х) = е2 + О f-|-) (9.4)
"при Im?.-<0.
Аналогичным образом функция ар(Я) аналитически продолжается на лист Г_,
исключая Я,= ±со. Обозначая ее аналитическое продолжение через а*(К), из
(8.36) получаем, что
а'р(Х) = ар(Р(Х)). (9.6)
Представление (9.2) показывает, что Ь"(Х), вообще говоря, не продолжается
из Кш. Конечно, такое продолжение существует, если функции ф(х), ф(х)
отличаются от своих асимптотических значений лишь в конечном интервале.
Из (8.28) и (8.30) следует, что при [Я[-*-оо, % из
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed