Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
4- Т (х, у) = V(x) Т (х, у) + Т (х, у) С, (3.20)
dt
где матрица С не зависит от х. Используя начальное условие
(3.6), отсюда получаем, что C--V (у). В результате имеем соотношение
4- Т (х, у) = V (х) Т (х, у) - Т (х, у) V (у) (3.21)
dt
- эволюционное уравнение для матрицы перехода.
Для матрицы монодромии это уравнение упрощается благодаря условиям
квазипериодичности. Именно, для матрицы
TL(X, t)Q(Q) из (3.21) получаем эволюционное уравнение гей-
зенберговского типа
Tl (К t)Q(Q) = [V (L, t, I), TL (I, t) Q (0) ]. (3.22)
dt
Формула (2.30) дает его решение в терминах упорядоченных экспонент.
Из уравнения (3.22) заключаем
- tr Tz. (X. 0 Q (9) = 0. (3.23)
dt
§ з. свойства матрицы монодромии 31
так что мы еще раз убеждаемся, что функционал /Д(Я) (см.
(2.32)) является производящей функцией интегралов движения уравнения
(1.1).
Рассмотрим в заключение этого параграфа тонкие аналитические свойства
матрицы монодромии. Будем считать, что функции яр (ас) , яр (ас)
бесконечно дифференцируемы, и покажем, что целые функции аь(Я) и bL(Я)
имеют экспоненциальный тип L и при больших вещественных Я допускают
асимптотические разложения вида
aL (Я) = e-!lL + e-'lL у - + eikL У- + 0(\1 Г°°) (3.24)
Л tl fc-J Л tl
П= 1 К П= 1 Л
U
СО ь со ^
bL (к) = е-ы 2 Т7 + elkL S -f + 0 (1^ Г"}- (З-25)
В= 1 %П П= 1
Здесь через 0(|Я|"°°) мы обозначили функцию, имеющую исчезающий
асимптотический ряд по степеням Я-1.
Доказательство будет основано на интегральном представлении для
матрицы перехода, которое будет полезно и в
дальнейшем. Поэтому мы приведем его достаточно подробный
вывод.
Будем исходить из интегральных уравнений для Т(х, у, Я), которые
эквивалентны дифференциальной задаче (3.5) -(3.6)
X
Т (х, у,Х) = Е(х-у,Х) + ^Т (х, г, Я) U0 (2) Е(г - у, Я) dz (3.26)
У
И
X
т {х, у, Я) = Е (х- у, Я) + (j Е (х - г, Я) U0 (z) Т (г, у, Я) dz, (3.27)
у
где для определенности считаем, что у^х. Здесь матрица U0(x) дается
формулой
и0 (х) = и (х, Я) + -у (Т3 = /и (фа+ + фа_), (3.28)
(сравни (2.3)-(2.4)), Е(х-у, Я) - решение задачи типа (3.5) -
(3.6) при Н0=0
Е(х - у, Я)=ехр (х-у) а3|. (3.29)
Вследствие свойства
СТзО± = 'СГ+СТ з (3.30)
имеем полезное соотношение
Е(х, X)U0(y) = U0(y)E(-x, Я). (3.31)
32
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
Уравнения (3.26) и (3.27) представляют собой интегральные уравнения типа
Вольтерра, поэтому последовательные приближения для них - итерации -
абсолютно сходятся. Анализируя эти итерации, убеждаемся, что при у^х
решение Т(х, у, К) можно представить в виде
X
Т]{х, уЛ) = Е(х - уЛ) + ^ Г (х, у, г)Е(г - у, Я) dz (3.32)
Щ-Х
ИЛИ
2Х-у _
Т {х, у, Я) = Е (х ~у, X) + j Е (х - zЛ) г (х, у, z) dz. (3.33)
у
Действительно, используя (3.31), мы можем собрать в каждой итерации все
множители Е(-, Я) слева или справа от произведения множителей t/0(-).
После этого следует использовать свойство суперпозиции для Е(х, Я).
Для матричных ядер Г и Г имеют место уравнения
Г (x,y.z) = jU0(^E-)j+ J T(x,s,2s - z)U0(s)ds, (3.34)
У
где y^(x+z)/2s^x, и
X
Г (х, y,z)=j u0 + j U0 (S) Г (S, у, 2s - г) ds, (3.35).
(гн-г)/г
где ysg (y+z)/2<х
Для их вывода, например для уравнения (3.34), подставим
(3.32) в (3.26), поменяем порядки интегрирования и используем (3.31).
Приравнивая члены при одинаковых E(z-y, Я), 2y-x^z^.x, получаем искомое
уравнение. Аналогично выводится уравнение (3.35).
Очевидно, что приведенные рассуждения носят обратимый характер, так что
интегральные уравнения (3.26) и (3.34), а также (3.27) и (3.35)
равносильны. Интегральные представления (3.32), (3.33) для матрицы
перехода и интегральные уравнения (3.34) и (3.35) для ядер Г и Г будут
непосредственно использованы ниже в § 5-6.
Итерации для уравнений (3.34) и (3.35) абсолютно сходятся. При этом
используется лишь ограниченность функций ф(х), ф(х). Обозначим через || •
|| какую-нибудь матричную норму и положим
с= шах ||Д0(х)|. (3.36)
-L^x<.L
§ 3. свойства матрицы монодромии 33
Из (3.34) и (3.35) легко получаем оценки
||Г(*,г/,2)|<^- ^1 + - у)) I0(cV(x - z)(x + z - 2y))
(3.37)
И
Цг(*. г/.>) 1 ^(1 + С{Х~1~Г~))!°(cY(z - y)(2x-y-z)),
(3.38)
где 10(х) - модифицированная функция Бесселя.
Укажем, что оценки (3.37) и (3.38) слишком грубы при больших значениях
аргументов ядер Г и Г. Более точные оценки будут получены в § 5.
Свойство инволюции справедливо и для ядер Г и Г:
Г (х, у, z) = аГ (х, у, z) а, Т (.г, у, г) = аГ (х, у, г) а (3.39) и
позволяет их записать в виде
Г = [ а ^ \ Г = f " , (3.40)
\М/ \Р "/
где e=sign у..
Интегральные представления (3.32) и (3.33) определяют связь скалярных
ядер а и $ с а и (3 соответственно. Действительно, матрица Е(х, к)
коммутирует с диагональной частью Г и Г, а при переносе через
антидиагональные части заменяется на обратную. Поэтому, пронося в (3.32)
матрицу E{z-y, к) налево, получаем представление типа (3.33); сравнивая
коэффициенты, приходим к соотношениям
а (X, у, г) = а (х, у, х + у - г), (3.41)
f>(x, y,z) = $(x, у, х - у +г). (3.42)
