Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
получаются предельным переходом в интегральных представлениях (3.46) и
(3.47) для aL(k) и bL{k).
Начнем с коэффициента aL(k) и перепишем (3.46) в виде
•:L
eihLaL (X) = 1 + a'L (х) eihxdx, (6.5)
е
где
(*) = al(L - х) = 2а (L, - L, L - 2х). (6.6)
Из интегрального уравнения (3.34) получаем, что
_ L-х _
a (L,-L, L - 2х) = Ъ'[/г% ^ $ (L, s, 2s -f- 2дг - L)\p(s)ds =
-L
L-x____
= е/я ^ j3(?, s, s + 2x)x|)(s) ds, (6.7)
-L
где в последнем равенстве мы воспользовались соотношением
(3.42). Вспоминая определения (5.17) ядра Г+(х, z) и оценку
§ 6. СВОЙСТВА коэффициентов ПЕРЕХОДА 47
(5.14), из (6.7) заключаем, что при х^О существует предел
ОО
а (х) = lim а'L (х) = - 2ъу[к ^ (1+ (s, s -f 2х) ф (s) ds (6.8)
L->оо ^
-оо
и при этом 1
00
^|a(x)|dx<oo. (6.9)
О
Таким образом, мы получаем для а (к) интегральное представление
оо
а (к) = 1 + J а (х) eilxdx, (6.10)
О
где функция а(х) принадлежит ТДО, оо).
Рассмотрим теперь коэффициент bL(k), для которого имеем представление
(3,47):
ь
bL(k)= [$L(x)eaxdx, (6.11)
где-
$l{x)=2${L, -L, 2x-L). (6.12)
Покажем, что Рь(х) имеет предел при L->-оо. Из интегрального уравнения
(3.34) и соотношения (3.41) получаем
Р(Т,-Т,2х-Т)=^ф(х) +
х г~
+ Yк j* a (L, s, 2s - 2х + L) ^ (s) ds = ф (х) +
-L
х___
+ [f к a (L, s, 2х - s)ip(s)ds. (6.13)
-L
Отсюда и из оценки (5.14) следует, что существует предел
X
р (х) = lim Pi (х) =У"ф (х) -J- 2 ~]f к [ а+ (5, 2х - s) ф (s) ds (6.14)
L-wo J
-jo
и при этом
jj | Р (х) | dx< оо. (6.15)
-oo
В результате для b (X) получаем искомое представление
b (к) = (х) e0xdx, (6.16)
-со
где функция р(х) принадлежит Lt(-оо, оо).
48
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
Множество всех функций вида
00
F(X) = $ f(x)e*4x, (6.17)
-оо
где f(x) принадлежит Ll(- оо, оо), образует известное в литературе полное
нормированное кольцо S0. Тем самым коэффициент Ь(Х) принадлежит So при
наших условиях на ф(х), г|)(х). В свою очередь а(Х) принадлежит кольцу
S+, образованному функциями вида
F+(X) = c+°^ f+(x)e"-*dx, (6.18)
О
где f+(x) из ЕДО, сю). Функции из S+ аналитически продолжаются в верхнюю
полуплоскость и обращаются в с при |Е|->-оо.
Сформулированные выше аналитические свойства коэффициентов перехода а (К)
и Ь(Х) также непосредственно следуют и из полученных интегральных
представлений. Последние дают полную характеристику коэффициентов
перехода в терминах их преобразований Фурье.
В отношении гладкости функции а(х) и ?5(х) ведут себя ровно так же, как и
функции "|-(х), ф(лг). Если последние принадлежат пространству Шварца, то
такой же будет функция р(х) и, следовательно, Ь(Х). Функция же а(х) при
этом будет бесконечно дифференцируема и шварцевского типа на +оо.
Обсудим теперь вопрос о нулях коэффициента а (7.) в верхней полуплоскости
Покажем сначала, что при х>0 а(Х) не имеет нулей. Действительно, на
вещественной оси а(Х) не обращается в нуль в силу соотношения нормировки.
Предположим теперь, что а(Е0)=0 при ImE0>0. Тогда из (6.1) получаем, что
столбцы Т(У (х, X) и Т{1] {х, X) линейно зависимы. Из интегральных
представлений (5.10) и (5.16) следует, что при ImX>0 столбец ТУ (х, X)
экспоненциально убывает при х->-оо, а столбец Г+2) (х, X)--при х->--f-oo.
Таким образом, мы получаем, что при Х=Х0 уравнение (5.21) имеет столбец-
решение, экспоненциально убывающее при |х|->-оо. Однако (5.21)
эквивалентно спектральной задаче (5.23) для формально самосопряженного
оператора 3 (5.24), для которого Х0 становится невещественным собственным
значением. Полученное противоречие показывает, что а(Х) не может иметь
комплексных нулей.
При х<0 оператор 3? не самосопряжен и функция а(Х) может иметь нули.
Известные нам ее свойства накладывают на эти нули лишь слабые
ограничения. Из аналитичности и асимптотики (6.3) следует, что эти нули
сосредоточены в конечной
§ 6. свойства коэффициентов перехода
49'
части полуплоскости 1тЯ^0 и могут иметь точки сгущения лишь на
вещественной оси.
Для упрощения дальнейшего исследования мы предположим,, что выполняется
следующее условие (А):
(А4) вещественные нули отсутствуют-,
(А2) все нули простые.
Отсюда, в частности, следует, что общее число нулей конечно и для b (X)
выполняется строгое неравенство
|Ь(Я)|<1. (6.19)
В терминах функций ф(х), ф(х) соответствующие достаточные условия сложно
сформулировать. Это связано с трудными вопросами спектрального анализа
несамосопряженных дифференциальных операторов. Однако для наших целей
исследования динамической системы модели НШ это обстоятельство не слишком
существенно. Дело в том, что функции ф(х), ф(*)> Для которых выполняется
условие (А), образуют в некотором естественном смысле открытое всюду
плотное множество в фазовом пространстве Ниже в гл. III мы дадим
альтернативное описание при котором сделанное утверждение станет более
ясным.
Пусть /", ..., Я" - полный набор нулей а (Я), ImAjX), j- = 1, ..., п. Как
уже отмечалось выше, при Я=Яу столбцы Т(У(х, Я) и Т^(х, Я)
пропорциональны; коэффициент пропорциональности обозначим через у}, у^О:
