Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
матрицы TL(X, t)Q(Q) не зависит от t.
Таким образом, исходя из представления нулевой кривизны, мы показали, что
функционал FL(X), задаваемый формулой
ад)=^ад)<э(в), (2.32)
t
t2
-L L
является производящей функцией законов сохранения для уравнения (1.1).
рис j
Выбор фундаментальной области -L^x<L в определении матрицы моно-
дромин не является обязательным. Для произвольной фундаментальной области
х0-LzSZx<x0 + L введем матрицу
TL.X, (К 0 = етр j и (х, t, X) dx (2.33)
x"-L
и покажем, что tr TL>Xa(X, t)Q(Q) не зависит от х0. Для этого убедимся,
что матрицы TL(X, i)Q(0) и TL^{X, /)Q(0) подобны. Действительно, из
(2.33) следует, что
TL,xAX,t) = P+TL{Kf)P-\ (2.34)
где
JCq -ь ^
Р± (лг0) = ехР j" U (х, t, X) dx. (2.35)
±L
Используя условия квазипериодичности (2.23), имеем
P+=Q-1(0)P_Q(0), (2.36)
откуда на основании (2.34) получаем искомое подобие
Tl.x, (М) Q (0) = Р+ (Х0) TL (X, t) Q (0) РД (х0). (2.37)
Итак, мы убедились, что матрица монодромии TL(X) является полезным
объектом для описания динамики нашей модели. В следующих параграфах мы
продолжим ее исследование и получим для нее новые динамические
приложения.
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
§ 3. Свойства матрицы монодромии в квазипериодическом случае
Здесь мы исследуем матрицу монодромии - матрицу параллельного переноса
вдоль фундаментальной области -
TL (к) = exp J U (х, X) dx, (3.1)
-L
где матрица U (х, X) из (2.3) -(2.5) удовлетворяет условию
квазипериодичности
U(x+ 2L, X) =Q"' (0) U (х, X) Q (0). (3.2)
Здесь мы опустили зависимость от переменной t, которая будет считаться
фиксированной.
Наряду с матрицей монодромии будем рассматривать также и более общий
объект - матрицу параллельного переноса вдоль оси х из точки у в точку х
X
Т (х, у, X) - exp j U (г, X) dz, (3-3)
у
которую мы будем называть матрицей перехода. Матрица монодромии TL{X)
является частным случаем матрицы перехода:
Tl(X) = T(L, -L, X). (3.4)
Приведем основные свойства матрицы Т{х, у, X).
Она удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.22) вспомогательной
линейной задачи
f Т (х, у, Х) = U (х, X) Т (х, у, X) (3.5)
дх
и начальному условию
Т{х, у, X) |х="=/. (3.6)
Это свойство может быть взято за альтернативное опреде-
ление матрицы перехода. Известные теоремы из теории обыкновенных
дифференциальных уравнений позволяют утверждать, что решение Т (х, у, X)
существует, единственно при любых конечных х и у и является целой
функцией параметра X. Последнее следует из того, что в силу (2.3) матрица
U(x, X) как и начальное условие (3.6) очевидным образом аналитически
зависят от X.
Имеет место свойство суперпозиции
Т {х, z, X) Т (z, у, X) =7 (х, у, X), (3.7)
которое следует как из более общего соотношения (2.18), так
и из дифференциального уравнения (3.5) и (3.6). В частности,
§ 3. СВОЙСТВА МАТРИЦЫ МОНОДРОМИИ
29
выполняется соотношение
Т(х, у, Х)=Т~1(у, х,Х), (3.8)
совместное с дифференциальным уравнением для Т(х,у,Х) по у
^T(x,y,X) = -T(x,y,X)V(y,X), (3.9)
ду
которое непосредственно следует из (3.3).
Также справедливо свойство унимодулярности
det Т (х, у, Я,) = 1, (3.10)
которое следует из бесследовости матрицы U (х, X)
trU(x,X)=0. (3.11)
Действительно, из уравнения (3.5) получаем, что
- det Т (х, у, X) = trU(x, Я,) det Г (х, у, Я,) = 0. (3.12)
дх
Приведенная выкладка пригодна для любого матричного решения уравнения
(3.5) и показывает, что его определитель не зависит от х.
Матрица U(х, а) имеет весьма специальный вид и удовлетворяет соотношению
инволюции:
U (x,X) = aU (х,Х) а, (3.13)
где о=а, при и>0 и а=а2 при >с<0; U означает матрицу с матричными
элементами, комплексно сопряженными с U.
Свойство инволюции естественно переносится на матрицу перехода, так что
имеет место соотношение
Т(х,у,Х) = °Т(х,у,Х)о. (3.14)
В частности, для матрицы монодромии получаем, что она представляется в
виде
TL(X) = ( Ч(К) ^ ] , (3.15)
\ bL(K) aL(X) )
где e=sign х. Функции аь(Х) и bL(X) будем называть коэффициентами
перехода. Они являются целыми функциями параметра X и при вещественных X
удовлетворяют соотношению нормировки
|МЬ)|а-е|МА.)|г=1, (3-16)
которое следует из унимодулярности TL(X).
Этим исчерпываются элементарные свойства матриц перехода и монодромии.
30 ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
Обсудим теперь зависимость матрицы монодромии от времени. В § 2 с помощью
геометрической интерпретации мы уже задали ее в виде формулы (2.30),
носящей интегральный характер. Альтернативный способ состоит в получении
дифференциального уравнения для TL(X, t) по t, к выводу которого мы и
приступаем. Здесь в обозначениях мы восстанавливаем зависимость от t.
Получим сначала такое уравнение для матрицы перехода. Для этого
продифференцируем уравнение (3.5) по t
J!ZL= U - + - T (3.17)
дх dt dt dt
и с помощью условия нулевой кривизны перепишем его в виде
- = (- + VU- uv) Т + U- =
дх dt \ дх J dt
= дУ-Т + V - - UVT + U ~ = -{VT) + U ( - - vr') . (3.18)
дх дх dt дх \ dt /
Или
откуда заключаем, что
