Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
пределы
Т* (*, X) = lim Т (х, у, X) Е (у, X), (5.2)
у^± оо
где матрица Е(х, X) введена в § 3, и исследуем свойства матриц Т±(х, X),
в частности, получим их асимптотики при больших х и X.
Для доказательства будем использовать интегральные представления (3.32) и
(3.33). Рассмотрим для определенности случай f/->-оо и перепишем (3.32) в
виде
Т {х, у,Х) Е {у,Х) = Е (х,Х) + J Г (x,y,z) Е (г, X) dz. (5.3)
Щ-Х
Покажем, что ядро Г абсолютно интегрируемо на интервале
2y-x^.z^.x равномерно по у. Для этого рассмотрим функцию
X
ФС*.У)- I IIг (х> У" г)Jdz. (5.4)
2 у-Х
Интегрируя уравнение (3.34) по г в указанном интервале и меняя порядок
интегрирования, получаем неравенство
ф (*> "/X 5 II и0 (г) 1 dz + J Н и0 (s) 1Ф (х, s)'ds. (5.5)
У У
Итерируя это неравенство, получаем оценку
х
Ф (¦*, у) < exp J II и0 (г) \\dz- 1. (5.6)
у
Покажем теперь, что существует предел
Г- (х, z) - lim Г (х, у, г), (5.7)
где Г_(х, z) при фиксированном х принадлежит АД-оо, х) и сходимость
понимается в смысле Д. Для этого достаточно доказать, что представление
(*+Z)/2
Г-(^г) = 7^о(?у?-)+ f r(*,s,2s-z)U0(s)ds, (5.8)
-оо
получающееся из (3.34) формальным переходом к пределу при У~*--оо,
определяет функцию из А1(2Х2) (--оо, х). Последнее сра-
§ 5. МАТРИЦА МОНОДРОМИИ В БЫСТРОУБЫВАЮЩЕМ СЛУЧАЕ 41
зу следует из оценки (5.6):
(j || Г (х, z) J dz <1 (j ||t/0(2)Hz+ ^ ] f/0 (s) J Ф (л:, s)
- оо -оо -оо
< $ II ^0 (г) IIdz exp $ II и о (г) || dz. (5.9)
-оо -оо
Теперь используя (5.7), получаем, что предел (5.2) при у-*--оо
действительно существует, и для Т~(х, X) имеем интегральное представление
X
Т_ (х, Х) = Е (х, X) + ^ Г_ (х, z) Е (г, X)dz. (5.10)
- оо
Аналогичным образом доказывается существование предела (5.2) при t/->- +
oo. При этом следует воспользоваться представлением (3.33). Вспоминая,
что
Т(х, у, X) =Т~1(у, х, X), (5.11)
получаем, что предел существует и имеет место интегральное представление
ос
Т? (X, Х)=Е(- х, X) + J Е (- z, X) Г + (X, z) dz. (5.12)
X
Ядро Г+ дается формулой Г+(х, z) = limf ("/, х, z) ~
у-+ оо
оо
= JU4JLJ1) + S (s) Г (s, х, 2s - z) ds (5.13) и удовлетворяет оценке
ос ос ос
J цГ+(а, z)Jdz< J|[/0(z)||dzexp ^\\U0(z)\\dz. (5.14)
X XX
Нетрудно получить интегральное представление и для самой матрицы Т+(х,
X). Для этого заметим, что вместе с Т(х, у, X) и Е (х, X) матрица Т+(х,
X) также унимодулярна. Используя общую формулу
Л-^аИ'еь, (5.15)
справедливую для любой унимодулярной матрицы 2X2 и связывающую обратную
матрицу А-1 с транспонированной А\ получаем для Т+ (х, X) интегральное
представление
оо
Tt(x,X) = E(x,X) + lT+(x,z)E(z,X)dz, (5.16)
X
42
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
где
T+(x,z)=o2Yl(x,z)o2. (5.17)
Свойство инволюции (3.39) естественно переносится на матрицы Г±(дг, z):
T±(jf, z)=oT±(x, z)a (5.18)
и на матрицы Т±(х, X):
Т±(х, X) =аТ±(х, Х)о. (5.19)
В частности, для ГС имеем представления
Г± = (а<± е = sign и. (5.20)
\Р± а±)
Как и матрица Т(х, у, X), матрицы Т±(х, К) удовлетворяют
дифференциальному уравнению
d± = U(x,X)F. (5.21)
dx
Роль начальных условий для них играют асимптотики
Т±(х, Х)=Е(х, >.)+о(1) при дг-v+oo, (5.22)
которые немедленно следуют из (5.10), (5.16) и оценок (5.9),
(5.14).
Здесь уместно сказать несколько слов о связи вышеизложенного с теорией
рассеяния. Поскольку спектральный параметр X входит в уравнение (5.21)
линейно, его после умножения на io, слева можно привести к традиционному
виду задачи на собст венные значения
gF=-F (5.23)
2
для матричного дифференциального оператора первого порядка & - {аз + 'У и
(4 (х) о_ - 4 (*) <т+). (5.24)
dx
Этот оператор формально самосопряжен при х>0. Спектральная задача для
оператора S со стабилизирующимися при |*|->-оо коэффициентами ф(дг), ф(*)
и является предметом теории рассеяния. В частности, решения Т±(х, X)
играют в ней большую роль и носят название решений Поста.
Перейдем теперь к изучению аналитических свойств матричных элементов
решений Т±(х, X) как функций X при фиксированном х. Напомним, что матрица
Т(х, у, X) была целой функцией X. Однако, поскольку в определении Т±(х,
X) участвует предельный переход, матрицы Т±(х, X) таковыми, вообще
говоря,
§ 5. МАТРИЦА МОНОДРОМИИ В БЫСТРОУБЫВАЮЩЕМ СЛУЧАЕ 43
не являются. В то же время из интегральных представлений
(5.10) и (5.16) и абсолютной суммируемости ядер Г±(х, z) по z
следует, что первый столбец матрицы Т- (х, к) и второй столбец матрицы
Т+(х, к) аналитически продолжаются в верхнюю полуплоскость переменной X,
а первый столбец матрицы Т+(х, к) и второй столбец матрицы Т_ (х, к)
аналитически продолжаются в нижнюю полуплоскость. Действительно, при
указанных к экспоненты вида ехр{±гХх/2), участвующие в интегральных
представлениях (5.10) и (5.16), убывают, когда переменная интегрирования
2 уходит на +оо или -оо соответственно.
Введем для упомянутых столбцов специальные обозначения Т?2)(х, к), так
что
Т + (х, к) = (Г1} (х, к), til (.V, к)). (5.25)
Из интегральных представлений и леммы Римана - Лебега следует, что при
