Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 18

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 180 >> Следующая

от времени
а (Я, /) =а(Я, 0). (7.6)
В силу аналитичности это верно и при 1тЯ>0, откуда следует, что нули Я;
функции а (Я) также не зависят от t. Таким образом, в быстроубывающем
случае роль производящей функции законов сохранения играет коэффициент а
(Я).
Определим теперь эволюцию коэффициентов перехода дискретного спектра. Для
этого воспользуемся уравнениями (7.3) для столбцов ТУ{х, Я) и ГУ (х, Я):
(х, Я) =, V (х, Я) ГУ (.х, *) - -у- ГУ (х, Я) (7.7)
И
.у 2
-±- (.к, k) = V (х, Я) г;2) (х, Я) + ГУ (X, Я). (7.8)
<л 2
Эти уравнения справедливы и при 1тЯ>0 и в случае Я=Я3- совместны с
равенством (6.20)
тУ(х,Ц = у,-ГУ(х,1,), (7.9)
только если
= /=1,...,п. (7.Ю)
at
Уравнения (7.5) и (7.10) тривиально решаются и зависимость от времени
коэффициентов перехода дается замечатель-
§ 7. ДИНАМИКА КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕХОДА
53
ными по своей простоте формулами
b(k,t) = e-iX4b(k,0),
Y/(Q = *"%,( 0), /=1 (7.11)
В этом и заключается обещанное в конце предыдущего параграфа упрощение
динамики при отображении (6.30). В новых переменных уравнения движения
решаются явно. С точностью до утверждения об обратимости отображения
(6.30) можно говорить о том, что формулы (7.11) дают полное решение
начальной задачи (1.1) - (1.2) для быстроубывающего случая.
Обсудим теперь локальные интегралы движения. Будем считать, что ф(х),
ф(х) являются функциями типа Шварца. С тем чтобы использовать уже
известные результаты, предположим, что ф(х), ip(jt) получаются пределом
Z,->- оо из функций з)ц(^), фг.00 - периодических функций с периодом 2L.
В этом случае плотности Рп(х) локальных интегралов движения, определяемые
формулами (4.19)-(4.20) и (4.34), имеют пределы при L-+-оо, которые также
являются функциями типа Шварца. Поэтому в выражении (4.33) для законов
сохранения можно перейти к пределу L-*-оо, после чего они приобретают вид
In=\pn(x)dx. (7.12)
-оо
Здесь Рп(х) строится по ф(х), г|з(*) с помощью формул (4.19) -
(4.20) и (4.34).
Рассмотрим теперь предельный переход Z,->-оо в производящей функции
pL(k):
Pl (^) = arccos -у- tr Tl (Я). (7.13)
Обратим внимание, что, в отличие от (4.1) - (4.2), мы положили 0
= 0. Из определения приведенной матрицы монодромии
Т (к) и (5.47) получаем, что при вещественных к и L-у-оо
tr Tl (Р) = eriXLa Щ + e!XL а (к) + о (1) =
= 2 | а (к) | cos (arg а (к) - kL) + о(1). (7.14)
Из соотношения нормировки следует, что
|а(Ь)|=1 + 0(|Х|-), (7.15)
поскольку b (к) является функцией типа Шварца. Поэтому с точностью до 0(
[>.[-00) имеем при L-*-оо
Pl {к) = - kL + arg а (к) + о (1) = - kL + - In а (к) + о (1), (7.16)
54 ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
где мы использовали формулу
\na(X)=iarga(X)+0(\X\-°°), (7.17)
вытекающую из (7.15).
Таким образом, предел производящей функции законов сохранения при L-коо
совпадает с In а (Я):
lim (pL {Ц + XL) = 4- 1па(Х), (7-18)
L->оо I
где равенство понимается с точностью до 0(|Х|_"). Сравнивая
это равенство с (4.4), получаем, что 1па(>.) является произво-
дящей функцией локальных интегралов движения:
СО у
Ina(k) = iy,yi - +0(|А, |"°°). (7.19)
fc-J л П
П - 1 ^
Равномерность асимптотического ряда (4.4) для pL{X)+XL по L при L->~оо
очевидным образом следует из доказанного в § 6 существования предела в
интегральном представлении (3.44) для E(-L, X)TL(X)E(-L, К) при L-vоо.
Коэффициенты разложения (7.19) можно определить из представлений (6.22) -
(6.23). Плотности In (1 +е | b (ц) |2) в интегралах (6.22) и (6.23)
являются функциями типа Шварца, и
1
разложение знаменателя в геометрическую прогрессию'
(.1 - X
определяет асимптотический ряд
00 с
Infl(X)=:txV -+0 (| К Г"), (7.20)
л П
где п=х X
оо
с* = -f In (1 + е I ъ (Е) I2) ^xdk +
2лх J
- ОО
+ k- 1,2,.. . (7,21)
ixk f-
/=1
Здесь е'=sign х и при е = 1 сумма по нулям в правой части
(7.21) отсутствует.
Сравнение асимптотических разложений (7.19) и (7.20) приводит к
тождествам
оо
Cn = In= ^ Pn(x)dx, (7.22)
-ОО
которые-связывают функционалы от 'ф(х), ф(л:) с функционалами от Ь(Х),
Ъ(Х) и Xjt Х,. В спектральной теории такие формулы называются тождествами
следов.
§ 8. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. РЕШЕНИЯ ЙОСТА
55
Для наших целей важно, что мы сумели представить интегралы движения /"
_как функционалы от новых переменных (b (X), b(X), Xj, X], у,, Ч;, /=1, .
л), введенных в (6.30). Харак-
терно, что в них участвует только половина этих переменных, а именно,
|6(Я)|2 и Xj, Xj. Интерпретация этого факта в терминах гамильтоновой
механики будет дана в гл. III.
§ 8. Случай конечной плотности. Решения Йоста
Граничные условия конечной плотности имеют интересные приложения лишь в
случае х>0, и поэтому мы ограничимся только этим случаем. Будем сразу
считать, что функции ф(х), ф(х) принимают граничные условия
в смысле Шварца. Без ограничения общности положим ф_ = 0, так что ф+=0.
В терминах матрицы U (х, X) эти граничные условия переписываются в виде
В этом параграфе мы введем подходящие решения линейной задачи
с граничными условиями (8.2) - (8.3) и исследуем их свойства. При этом мы
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed