Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 17

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 180 >> Следующая

ТУ(хЛ;) = у;т:-)(х,Х;), j=l,...,n. (6.20)'
Набор комплексных чисел у, является характеристикой вспомогательной
линейной задачи и будет играть важную роль в дальнейшем.
Из формулы (6.4) ясно, что функция а'(к) имеет в нижней полуплоскости
нули в точках Яь ..., Я". Используя свойство инволюции, получаем, что
(х, Я,-) = - у;Т'+ (х, Я,-), / = 1.п. (6.21 >
Для финитных функций ф(я), ф(я) формула (5.41), характеризующая
приведенную матрицу монодромии, имеет смысл при всех комплексных Я.
Полагая в ией к=к, и к=к}, получаем для коэффициентов и у} выражения У/=Ь
(Я,*), у;= Ь (Я;), / = 1,...,
Подчеркнем, что эти формулы справедливы только для финитных ф(х), ф(х).
_
Набор чисел Я,-, Я,-, /= 1, ... , п, составляет дискретный спектр-
спектральной задачи (5.23) при х<0. Кроме него, при любом к
,50
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
оператор 3? имеет двукратный непрерывный спектр, заполняющий всю
вещественную ось в соответствии с тем, что при вещественных к уравнение
(5.23) имеет два ограниченных по х линейно независимых столбца-решения.
Таковыми являются, например, столбцы матрицы Т-(х, к) или Т+(х, к). В
соответствии с этой интерпретацией а (к) и Ь(к) будем называть
коэффициентами перехода непрерывного спектра, а у,, у3, /=1, ..., п, -
коэффициентами перехода дискретного спектра.
В заключение этого параграфа покажем, что аналитичность а (к) и
соотношение нормировки позволяют выразить этот коэффициент через его
нули, если таковые есть, и b (к). Именно, при 1шл>0 имеют место формулы
а (к) = exp {-1- Г - ln(1 ±.IHU)_1!L dp], (6.22)
2я1 J и - к
I -оо '
где х > 0, и
а (к) = exp (-L- ? -ln.(1-1Н") I2) d 1 ц , (6.23)
2л' J Н - Х ' к - к;
у -оо ' •-* I
где х<0. Они допускают переход на вещественную ось по правилу (формула
Сохоцкого - Племеля)
~-г-^ = v-р- -hr + nib ^-(6-24)
р - к (X - к - !0 р - А
где V. р. означает главное значение.
Для доказательства представления (6.23) рассмотрим аналитическую в
верхней полуплоскости функцию
а(к) = а (к) ff , (6.25)
К - К 1 !
которая отличается от а (к) на произведение элементарных множителей
Бляшке. Функция а (к) уже не имеет нулей при Imk^O и по-прежнему
удовлетворяет при |Х|->-оо асимптотическому условию (6.3). На
вещественной оси
| а (к) |2 = | а (к) |2 = 1 - | Ъ (А) |2. (6.26)
Функция ri(X) = lna(A) также аналитична при 1тХ>0, исчезает при | к | ->-
оо и непрерывна вплоть до вещественной оси в силу -условия (А,). Поэтому
ее вещественная и мнимая части при ве-дцественных к связаны соотношением
Im п (к) = L у. р. Г - У ^-dp, (6.27)
к J р - к ¦
§ 7. ДИНАМИКА КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕХОДА 5С
которое немедленно следует из теоремы Коши. В физической литературе
формула (6.27) называется дисперсионным соотношением. Используя формулу
(6.24), ее можно переписать в виде
г] (X) = -- Г Reri66 ^ 1тХ>0. (6.28)
л/ J р - к
-ОО
Представление (6.23) теперь следует из (6.28) и очевидного соотношения
Re т] (к) = In | а (к) \ = -L In (1 - | Ь (к) |2). (6.29).
Формула (6.22) доказывается аналогично. На этом мы заканчиваем
исследование аналитических свойств коэффициентов, перехода.
Подводя итоги § 5-7, мы можем сказать, что в них построено отображение
(ф (*), Ф М) Ф ФУ b ФУ' h, 7/, 7/) (6-30)'
и описан его образ для различных классов функций ф(х), ф(х). Так,
функциям ф(х), ф(д') из L,(-оо, оо) соответствуют b (к) и Ь(к) из
шварцевским _функциям ф(х), ф(х) соответствуют шварцевские функции Ь(к),
Ь(к).
Это отображение будет играть важную роль для полного описания динамики
нашей модели. Так, в следующем параграфе мы убедимся, что в новых
переменных уравнения движения становятся тривиальными, а в следующей
главе мы исследуем обратимость отображения (6.30).
§ 7. Динамика коэффициентов перехода
В § 3 мы убедились, что матрица перехода Т(х, у, X) удовлетворяет
уравнению эволюции
(х, y,k) = V (х,к) Т (х, у,к) - Т (х, у, к) 1/(у,к), (7.1 У
01
когда функции ф(х), ф(х) удовлетворяют уравнению движения модели НШ.
Здесь для быстроубывающих ф(х), ф(х) мы перейдем в уравнении (7.1) к
пределу у-*--оо, х-к + оо и получим простые эволюционные уравнения для
коэффициентов перехода. Для этого заметим, что при |х|->-оо
V(x,k)-+V(k) = -^o3, (7.2).
так что матрица К(Х) коммутирует с Е (х, к). Умножим уравнение (7.1) при
вещественных к справа на матрицу Е (у, к) m
52 гл. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
перейдем к пределу у~*-± оо. Вспоминая определение решений йоста Т±(х, Я)
- формулу (5.2), получаем для них уравнения
^ (х, Я) = П (х, Я) 7Д (х, Я(х, Я) а8. (7.3)
ot 2
Повторяя эту операцию по переменной х, получаем уравнение для приведенной
матрицы монодромии
Г (X,t) = -у- [ о3, Т (Я, t) \. (7.4)
Последнее уравнение замечательно тем, что в нем полностью исчезла
зависимость от функций ф(-г), ф(*)- В терминах коэффициентов перехода
непрерывного спектра оно переписывается в следующем явном виде:
- а (Я, t) = 0, - b (Я, t) = - m (Я, t). (7.5)
dt dt
В частности, отсюда видно, что при 1тЯ = 0 коэффициент а (Я) не зависит
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed