Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя разложение (4.6) в дифференциальное уравнение (4.10), для
матриц Wn(x) получаем рекуррентные соотношения
(dW (х) \
+ 2 ^wи*wwJ (4-i2)
§ 4. ЛОКАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ
37
и начальное условие
Wx (х) = - io3U0 (x) = i Ух( 0 - ('r)) = iyх (г|)(.v) <т__ гр(лс)а+),
Uw о /
(4.13)
из которых они однозначно определяются и локально выражаются через U0(x)
и ее производные в точке х. В силу (4.12) и
(4.13) асимптотический ряд W (х, Я) удовлетворяет условиям инволюции
W(х, Я) = oW (х, Я) а (4.14)
и квазипериодичности
W(x+2L, Я)=д-1(е)и'/(х> Я) Q (0). (4.15)
Таким образом, W(х, Я) представляется в виде
W (х, Я) = i У к (w (х, Я) а_ - w (х, Я) а+), (4.16)
где
со
w(x, Я) = У (4.17)
п=1 Я"
и функции wn{x) квазипериодичны:
wn(x-\-2L) =e!°w"(x). (4.18)
В терминах wn(x) рекуррентные соотношения и начальное условие принимают
вид
dw - Л-1
wn h! (х) = - i (х) + кф (х) у wk (х) Wn-k (х) (4.19)
k
и w, (х) = ф (х). (4.20)
Возвращаясь к представлению для Z, мы видим, что диагональная матрица
U0W, участвующая в (4.11), имеет вид
U0(x)W(x, K) = ix(^(x)w(x'X) °_ _ ) , (4.21)
\ 0 -if (х) w (.г, Я) /
где асимптотические ряды if(x)(r)(x, Я) и ф(х)ю(х, Я) уже периодичны. На
этом закончим описание перестройки асимптотического разложения матрицы
перехода Т(х, у, Я).
Перейдем теперь к матрице монодромии. Из (4.5) получаем для нее
представление
Tl(X) = (I+W(L, Я)) exp ZL (Я) (/+ W (-L, Я))-1, (4.22)
где
L
ZL (Я) = - ikLo3 + U0 (х) W (х, Я) dx. (4.23)
-L
38 ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
В силу сказанного выше интеграл в (4.23) не зависит от выбора
фундаментальной области.
Перемножая асимптотические ряды, участвующие в сомножителях I+W(±L, к) и
ZL(k), из (4.22) получаем для TL(k) представление в виде асимптотического
ряда, совпадающего по форме с (3.24) - (3.25). Тем самым мы получили
способ вычисления коэффициентов ап, ап и Ьп, Ъп, участвующих в
разложениях (3.24) -(3.25).
В частности, для коэффициентов /" в разложении функции Pl(X) эта
процедура существенно упрощается. Действительно, используя условие
квазипериодичности, получаем из (4.22)
TL(k)Q(9) = (/+ W(L, к) )ехр ZL (к) Q (0) (I+W(L, к)) (4.24)
так что
Fl (к) = tr TL (к) Q (0) = tr exp jZL (к) + у <т3| . (4.25)
В силу унимодулярности матрицы TL(k)Q(Q) получаем, что
trZt(A,) = 0(|a,|-"). (4.26)
Отсюда на основании (4.11) и (4.21) заключаем, что
Ф l
(к) = к ^ ф (х) w (х, X) dx (4.27)
-L
является асимптотическим рядом с вещественными коэффициентами
фц(А.) = Фц(Я). (4.28)
В результате для ZL(k) получаем выражение
ZL(k) =1а3((рь(к)- kL), (4.29)
так что
FL(k) = 2 cos f (Я.) -kL) , (4.30)
что и делает естественным введение функции Рь(к): = arccos- FL(k) в
(4.2).
В новых обозначениях имеем
Рь(к) = - XL + - + фДХ), (4-31)
где функция срД?.), введенная в (4.27), допускает асимптотическое
разложение
Vi(*) = xv ZtL + 0(|*|-">). (4.32)
1 Ф Л Л=1 К
§ 5. МАТРИЦА МОНОДРОМИИ В БЫСТРОУБЫВАЮЩЕМ СЛУЧАЕ
39
Здесь
_ L
1п(r)Л)=\Рп{х)йх, (4.33)
-L
где
Р" (х) = ф (х) wn (х) (4.34)
и представляют собой полиномы от ф(-У'), фМ и их производных в точке х.
Отсюда и из периодичности Р"(х) следует, что /" являются допустимыми
функционалами на JtL,e, т. е. удовлетворяют условиям (1.34).
Первые четыре плотности Рп(х) имеют вид
Pi (¦*) - | Ф (х) Р> РАх) = - Ц>(х)4%-(х),
ах
рз (х) = -J(x) + к I ф (х) I4, (4.35)
dx2
Pi (х) = i (ф (-у)d¦ - х | ф (*) г (ф(-у) ^ (х) + 4ф (*) j j .
Функционалы In, ti= 1, 2, . . ., и представляют собой локальные интегралы
движения модели НШ в квазипериодическом случае. Как это следует из
(4.35), первые три из них - 1и /2 и /3 -• совпадают с введенными в § 1
функционалами N, Р и Н. В дальнейшем мы убедимся, что все интегралы
движения /" находятся в инволюции по отношению к введенной в § 1 скобке
Пуассона.
Приведенные здесь и в предыдущих параграфах результаты исчерпывают
основные элементарные свойства модели НШ и матрицы монодромии для
квазипериодических граничных условий. Полное описание динамики в этом
случае требует привлечения более сложного аппарата, выходящего за рамки
этой книги. Значительные упрощения возникают при L-voo для граничных
условий быстрого убывания и конечной плотности, к исследованию которых мы
и переходим.
§ 5. Матрица монодромии в быстроубывающем случае
Данный параграф носит вспомогательный характер. Мы исследуем здесь
свойства матрицы перехода Т(х, у, X) на всей оси -oo<x, f/<oo, считая,
что ф(х), ф(х) убывают при |x|-voo. Более точно, мы будем предполагать,
что эти функции абсолютно интегрируемы на R1, т. е. ф(х) принадлежит Д(-
оо, оо). Для матрицы U0(x) это означает, что
оо
jj \U0(x)\\dx <ос. (5.1)
40 ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
В дальнейшем пространство всех 2X2 матриц-функций, удовлетворяющих
условию (5.1), будем обозначать через L1(2X2)(-оо, оо). Антидиагональная
матрица U0(x) является специальным элементом Lj(2X2) (-оо, оо).
При сделанном предположении мы докажем, что при вещественных X существуют
