Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
77ТТ и исчезают, так что исчезают и коэффициентные
оФМ бф(л-) ^
функции спт(Уи - yn\zu ... , zm) в представлении (1.7). Тем
самым можно говорить о симплектической структуре на фазо-
вом пространстве Соответствующая замкнутая 2-форма П (симплектическая
форма) имеет вид
оо
Q-C ^ йф (х) ДДФ (х) dx. (1-22)
- оо
Каждая наблюдаемая Н порождает однопараметрическую группу преобразований
на фазовом пространстве Лй, задаваемую гамильтоновыми уравнениями
движения
= = Ф) = ^- (1-23)
dt 5^, dt бф
Функционал Н принято называть гамильтонианом.
В частности, уравнение движения модели НШ - уравнение
(1.1) - представляется в виде (1.23), если в качестве гамильтониана Н
задать следующий функционал:
Н =
f (Ifrf +*\^)dx- (L24>
Гамильтониан H (иногда его называют интегралом энергии) является
генератором группы сдвигов по времени.
Наряду с Н рассмотрим функционалы
§ I. ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ НШ
19
Гамильтоновы преобразования, порождаемые функционалами N и Р,
представляют собой соответственно фазовое преобразование
(1.27)
и сдвиг переменной х
ф(лг)^-ф(л:+а). (1.28)
Наблюдаемые N а Р имеют соответственно смысл заряда (числа частиц) и
импульса.
Нетрудно проверить соотношения
{H,P} = {H,N}= 0 (1.29)
и
{N, Р}=0. (1.30)
<*
Для этого достаточно убедиться, что уравнение НШ инвариантно относительно
преобразований (1.27) и (1.28). Вследствие (1.29) функционалы N и Р
являются интегралами движения, т. е. их значения постоянны вдоль
траекторий уравнений (1.23). Действительно, для любой наблюдаемой F в
силу (1.23) имеем
4L= \ ( 8F ¦ 8F ду Д)'А - ру ' (1-31)
dt W(*) dt §Д'_(-у)_ dt 1
Принято говорить, что наблюдаемые находятся в инволю-
ции, если их скобка Пуассона исчезает. Соотношение (1.30) показывает, что
интегралы движения N и Р находятся в инволюции. В дальнейшем мы убедимся,
что модель НШ обладает бесконечным набором инволютивных интегралов
движения, что приводит к ее полной интегрируемости.
Рассмотрим теперь квазипериодический случай. Координатами на фазовом
пространстве являются пары гладких функций ф(х) и ф(х), удовлетворяющих
условию (1.6). Естественно, что функционалы на зависят от значений
ф(х) и ф(х)
лишь в фундаментальной области группы сдвигов x^>-x+2nL, п - целое.
Определение допустимых функционалов, отвечающих наблюдаемым, отличается
от данного выше только в двух пунктах: во-первых, интегрирование по
переменным и z-} в (1.7) ведется по фундаментальной области; во-вторых,
коэффициентные функции спт(уи . .., уп \zu ..., zm) должны удовлетворять
условиям квазипериодичности
рпт (,УI, . . • , Уг~\~ 2Р, . . . , Уп | ^1, • • • , Zm)
с ' спт (у 1, ..., Уи ..., Уп |^i, . * •, zm), i- 1, ..., п, (1.32)
Cnmiyt, • • •, Уп \ Zi, . .., Zj-\-2L., ... , zm) ===
=^eibCnm{y, yn\zt z} zm), 7=1 m, (1.33)
20
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
понимаемым в смысле обобщенных функций. При этом подынтегральные
выражения в интегралах вида (1.7) являются периодическими функциями по
каждой переменной в отдельности, и интеграл не зависит от выбора
фундаментальной области. По-прежнему считается, что вариационные
производные даются формулами (1.10) - (1.11) и являются бесконечно
дифференцируемыми функциями.
В терминах вариационных производных условия (1.32) -
(1.33) имеют вид
Скобка Пуассона наблюдаемых определяется аналогично
(1.12) и выглядит следующим образом:
где результат интегрирования на самом деле не зависит от выбора
фундаментальной области. Эта скобка Пуассона по-прежнему невырожденна и
не выводит из алгебры наблюдаемых. Формальные скобки Пуассона координат
ф(х) и ф(х) имеют
вид
(Ф(*),'КУ)} = {Ф(*)> Ф0/)} = 0, (ф(лг), ф (у)} = гб^е (л: - у), (1.36)
удовлетворяющая условию квазипериодичности по переменной х.
И в рассматриваемом случае уравнение НШ представляется в гамильтоновом
виде (1.23). Гамильтониан Я по-прежнему задается формулой вида (1.24),
где интегрирование теперь ведется по фундаментальной области. Аналогичным
образом определяются наблюдаемые N и Р, имеющие такую же физическую
интерпретацию, как и выше.
Наряду с функционалами, отвечающими наблюдаемым, в главе III нам будет
удобно рассматривать также финитные функционалы. В их определении
фиксируется фундаментальная область, например интервал -L^.x<L, и
требуется, чтобы носители коэффициентных функций cnm(*/i уАги •••, zm) по
каждой переменной в отдельности лежали внутри этого интервала. При этом
вариационные производные считаются гладкими функциями внутри носителя.
Для таких функционалов имеет смысл невырожденная скобка Пуассона,
задаваемая формулой
L
(1.35)
где 8ь,е(.т) - усредненная 8-функция
оо
6д,о(х)= 3 eiQnb{x - 2nL),
(1.37)
§ I. ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ HUI
21
(1.35). Алгебра допустимых функционалов получается замыканием финитных
функционалов с наложением условия квазипериодичности. При' этом скобка
Пуассона наблюдаемых получается как соответствующий предел скобок
Пуассона финитных функционалов.
Наконец, рассмотрим случай конечной плотности. Фазовое пространство ЛеР
