Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
получается из Л^^ при переходе к пределу L->-оо из фундаментальной
области -L^xcL, когда мы фиксируем значения функций ф(х) и ф(х) при x=-L,
положив их равными р. В результате пространство Л0.е параметризуется
двумя вещественными параметрами р и 0, 0<р<оо, 0^0<
<2я п образовано парами функций ф(х), ф(х), удовлетворяющих в смысле
Шварца граничным условиям (1.4), где <р_=0 и Ф+=0. Отметим, что, в
отличие от предыдущих примеров, фазовое пространство Лр^ нелинейно.
Функционалы на Лр^ получаются как предельные значения при L-*-оо
допустимых функционалов в квазипериодическом случае. Однако допустимые
функционалы, отвечающие наблюдаемым, должны удовлетворять дополнительному
условию, согласно которому их вариационные производные должны быть
в гамильтоновы уравнения (1.23), и убывание этих вариационных производных
гарантирует, что гамильтоновы преобразования не выводят из фазового
пространства Лр^.
Скобки Пуассона наблюдаемых задаются снова формулой
(1.12), а формальные скобки Пуассона координат ф(л;) и ф(х) имеют снова
вид (1.18), поскольку при L->-oо 6L|e(;t) переходит в обычную 8-функцию.
Эта пуассонова структура невырожден-на, так как она получается из
невырожденной структуры ква-зипериодического случая предельным переходом
L-voo после наложения двух некоммутирующих связей
Простейший пример недопустимого функционала на Лр<в дается выражением
- естественным аналогом заряда в быстроубывающем случае. Действительно,
его вариационные производные
б F 8 F
функциями типа Шварца. Действительно. Г7ТТ и ~::-
огр (х) бф о
входят
ф (- L) = ф (- L) = р.
(1.38)
оо
Wp= I* (|Ф|г - Р2)сД
(1.39)
-оо
(1.40)
22
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
не исчезают при |х| -"~оо в силу граничных условий (1.4). Это связано с
тем, что в нашем фазовом пространстве не определены преобразования
(1.27), так как значение аргумента ф(х) при -оо фиксировано. Другой
пример недопустимого функционала дается наивно регуляризованным
гамильтонианом ква-зипериодического случая
(1.41)
В то же время функционалы
оо
Эф -
Н р =
И
дх
+ и(|ф|а - Р2)2\dx
(1.42)
Р = - nd-±^-d^i)dx 2i J [дх дх J
(1.43)
являются допустимыми на ЖР:в и играют роль гамильтониана и импульса
соответственно. Модифицированные уравнения движения (1.5) порождаются
именно гамильтонианом Н".
В описанных фазовых пространствах Ж0, и вве-
денные пуассоновы структуры невырожденны. Однако это ограничение имеет
чисто математический характер, будучи порожденным соображениями
симплектической геометрии. Ниже мы убедимся, что динамика солитонов в
случае конечной плотности более естественно описывается в пространстве
JCP= (J Мре. В пространстве Жр скобка Пуассона вырож-
о^;е<-2я
денна и имеет нетривиальный центр (или, как иногда говорят, аннулятор),
порожденный динамической переменной 0.
На этом мы заканчиваем формулировку модели НШ и переходим к описанию ее
динамики.
§ 2. Условие нулевой кривизны
В основе метода обратной задачи в применении к модели НШ лежит следующее
замечательное наблюдение: уравнение
(1.1) является условием совместности переопределенной систе-
мы уравнений
d^- = U(x,t,X)F, (2.1)
дх
d-^-=V(x,t,X)F. (2.2)
dt
§ 2. УСЛОВИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
23
21 ^0 - 1) 2 i
+ + (2.6)
Здесь F=r1j - вектор-функция от л: и t, а 2X2 матрицы U и
\/а J
(/ даются формулами
U=U0 + XUU (2.3)
где
= /й J j = \гк (фа+ + Чхт_), (2.4)
ui=±(l (2-5)
и где
/ук|Ф|2-- \ - .
v'=iM ^
V it
(2.7)
Vi ?/0, К2=-?/,. (2.8)
Мы ввели здесь и часто будем использовать стандартные матрицы 2X2 -
матрицы Паули
"'''(•о)' °!=(" "о)' а"=(" -[
(2.9)
а ах -+ t~q2 _ /б 1 \ а _ ах - ia2 = /0 о\
2 1° oj ' - 2 \1. 0/
Для Ух в (2.4) -(2.8) берется арифметическое значение при х> >0 и
Ух=?У|х| при х<0.
Обратим внимание на то, что матрицы U и V содержат помимо функций фиф еще
и произвольный комплексный параметр л.
Условие совместности системы (2.1) -(2.2) имеет вид
?L-d-L+[U,V] = о (2.Ю)
dt дх
и должно выполняться при всех X. Левая часть равенства (2.10)
представляет собой полином третьей степени по X. Коэффициенты при
степенях X, 7* и I3 исчезают тождественно в силу специального выбора
матриц U и V. Исчезновение постоянного члена эквивалентно уравнению
(1.1).
Для случая конечной плотности, описываемого уравнением
(1.5), формула (2.7) должна быть модифицирована. Соответст-
24
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
вующая матрица имеет вид
Кр=К-гхр2а3, (2.11)
а матрица U остается прежней. После этого уравнение (1.5) эквивалентно
условию (2.10).
Фундаментальная роль представления (2.10) для решения модели НШ станет
ясной из дальнейшего изложения. Здесь же отметим, что (2.10) является
одной из универсальных формул метода обратной задачи и будет возникать
при рассмотрении всех других моделей.
Система (2.1) -(2.2) и условие совместности (2.10) допускают естественную
геометрическую интерпретацию. Именно, матрицы-функции U(x, t, /.) и V (х,
t, X) можно рассматривать как локальные коэффициенты связности в
