Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
непрерывных моделей оказывается формализм скобок Ли - Пуассона на
(бесконечномерных) алгебрах токов. Мы обсуждаем также обобщение этой
классификации на случай моделей на решетке.
Подчеркнем еще раз, что все эти характерные черты находят свое
естественное место в квантовом варианте метода.
Скажем теперь несколько слов об уровне математической строгости.
Изложение в книге ведется в основном элементарно и основано на технике
классического анализа. Для модели НШ в быстроубывающем случае мы
доказываем все результаты по прямой и обратной задачам для
вспомогательной линейной системы. Мы не делаем этого при изложении других
моделей, чтобы не загромождать книгу скучными деталями. Мы считаем, что
модель НШ разобрана достаточно инвариантным образом и читатель сам может
восстановить недостающие детали.
Однако строгое доказательство утверждений, связанных с гамильтоновой
формулировкой, должно использовать анализ на
ВВЕДЕНИЕ
13
бесконечномерных многообразиях. Этот уровень строгости мы считаем для
данной тематики пока излишним и поэтому смело пользуемся терминологией
дифференциальной геометрии в бесконечномерном случае без полного
обоснования. Мы делаем это сознательно, так как нам кажется, что строгие
доказательства по этому поводу не проясняют существа дела, и мы оставляем
их специалистам по глобальному анализу. Мы верим, что это соответствует
состоянию дел в современной математической физике, к которой и относится
данная монография.
Метод обратной задачи в настоящее время развит настолько, что его
изложение можно вести с самого начала в общем виде. Однако мы думаем, что
это далеко не самый лучший способ введения в предмет. Мы сознательно
вводим основные понятия метода на конкретном примере, иллюстрируем их
универсальность на других моделях и этим подводим читателя к естественной
и достаточно общей конструкции, лежащей в основе метода. Мы считаем, что
это соответствует духу современной математической физики.
На этом мы заканчиваем содержательную часть введения. Мы решили не давать
здесь более формального пересказа книги и ограничились лишь основными
историческими указаниями и методическими основами. Мы надеемся, что
оглавление достаточно подробно и адекватно отражает содержание книги.
Наконец, остановимся на строении книги. Она состоит из двух частей,
разделенных на главы и параграфы. В основном тексте мы не приводим ссылок
на оригинальные работы. Для этого вводится специальный параграф в конце
каждой главы, где содержатся также замечания и комментарии. Там же мы
упоминаем другие аспекты метода, не вошедшие в основной текст, и даем
соответствующие ссылки.
Все формулы в тексте перенумерованы и несут номер параграфа и собственно
номер формулы. При ссылках на формулы из другой главы данной части
используется тройная нумерация, где первое число указывает на номер
главы. Ссылки на формулы из другой части оговариваются особо.
Часть I
НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА (модель НШ)
Глава I
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
§ 1. Формулировка модели НШ
Рассматриваемая модель представляет собой динамическую систему,
порожденную нелинейным уравнением
dt дх* 1 1 v '
и начальным условием
'К*. оио=гИ*)- (1-2)
Здесь гр(л:, t) - комплекснозначная функция (классическое заряженное
поле), а |ф|2=фф, где черта означает комплексное сопряжение. В уравнение
(1.1) входит вещественный параметр к - константа связи. Переменная х
пробегает всю вещественную ось -оо<л:<оо, а начальные данные ф(х)
предполагаются достаточно гладкими.
В линейном пределе х=0 уравнение (1.1) совпадает с уравнением Шредингера
для волновой функции свободной одномерной частицы с массой /п=1/2. Отсюда
происходит жаргонное название (1.1) - нелинейное уравнение Шредингера,
хотя физический смысл его далек от квантовой механики одночастичной
системы. Наиболее содержательные физические приложения уравнение (1.1)
имеет в нелинейной оптике. В то же время оно представляет собой
достаточно универсальную модель нелинейного уравнения.
Начальную задачу (1.1) - (1.2) следует снабдить граничными условиями. Мы
будем рассматривать три типа таких условий.
1) Быстроубывающий случай. Считается, что
ф(х, /)->0 при |х| ->-оо (1.3)
достаточно быстро, например, ф принадлежит пространству Шварца ^/(К1), т.
е. ф бесконечно дифференцируема и при |х|->-оо убывает вместе со всеми
своими производными быстрее любой степени |х|~'. Ниже будем использовать
и более слабые условия.
§ 1. ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ HIIJ
15
2) Случай конечной плотности. Считается, что
4' (х, t) ре'ф±(<) при х -"¦ zt оо,
(1.4)
где р>0, а 0^ф±<2я. Величина р2 играет роль плотности, а Ф± называются
асимптотическими фазами.
Будем говорить, что граничные условия принимаются в смысле Шварца, если
гр-ре!ф± является функцией типа Шварца в окрестности ±оо. Этот термин мы
будем часто использовать в дальнейшем.
Условие (1.4) согласовано с уравнением (1.1) в том смысле, что р и 0=ф+-
ф_- не зависят от времени. Однако удобнее сделать постоянными обе фазы ф+
