Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Первая из них посвящается только классической теории и представляет собой
настоящую книгу.
10
ВВЕДЕНИЕ
Остановимся теперь подробнее на ее структуре и методических новшествах. В
отличие от других авторов, в качестве основного примера мы выбираем
нелинейное уравнение Шредингера (НШ)
= х| dt дх2 11
где ф(х, t)-комплекснозначная функция, а не уравнение Кортевега- деФриза
(КдФ)
ди " ди дги
= OU---------- .
dt дх дх3
Для этого есть ряд причин:
1. Во многих технических аспектах уравнение НШ проще и фундаментальнее
уравнения КдФ- Так, уравнение НШ непосредственно иллюстрирует простые
общие конструкции метода, в то время как переход от них к уравнению КдФ
требует ряда редукций. В частности, вспомогательная линейная задача для
уравнения НШ (задача на собственные значения для оператора Ла-кса L)
имеет вид системы дифференциальных уравнений первого порядка в общем
положении. Для уравнения КдФ роль оператора L играет одномерный оператор
Шредингера, спектральная теория которого немного сложнее. Кроме того,
этот оператор можно рассматривать как весьма специальный случай
системы первого порядка.
2. Гамильтонов формализм для уравнения НШ проще и естественнее;
переменные поля ф(л-') и Ф(*) (где черта означает комплексное сопряжение)
образуют простой набор канонических переменных:
{Ф (х), ф (//)} = й (х - у)¦
В то же время скобки Пуассона для уравнения КдФ
{"", "(!,)> = |(|-?)"<*-",)
не приводят сразу к очевидному выбору канонически сопряженных переменных.
3. Уравнение НШ имеет естественный квантовый аналог, описывающий
квантовую систему с переменным числом частиц, взаимодействующих
посредством парного потенциала vi}= =b{Xi-X}). Поэтому оно особенно
удобно для реализации нашего проекта, включающего квантовую теорию. В то
же время уравнение КдФ в квантовой области не имеет непосредственного
физического смысла.
4. Последнее, но не менее важное обстоятельство связано с духом
противоречия, который не позволяет нам начинать еще одну книгу с
набившего оскомину уравнения КдФ.
ВВЕДЕНИЕ
И
Описание уравнения НШ занимает почти половину книги и выделено в
отдельную часть. Мы решили рассказать на этом примере об основах метода в
такой форме, чтобы перенос его на другие уравнения был бы более или менее
автоматическим. Все рассуждения проведены подробно и настолько строго
математически доказаны, насколько это не противоречит чувству разумного.
Зато при разборе других моделей мы ограничиваемся ссылками на пример
уравнения НШ и более подробно разбираем лишь их характерные отличия.
Вторая часть посвящена разбору нескольких характерных моделей, сыгравших
важную роль в развитии метода обратной задачи. Мы называем их
фундаментальными. Список включает модели, задаваемые следующими
уравнениями:
1) уравнением Sine-Gordon
д2ф д2ф . т2 . " "
-2-----*-• -{-----------Sin Вф = О
Л2 дх2 В
для вещественной функции ф(х, t);
2) уравнением магнетика Гейзенберга
as
д? дх2
где S(x, t) лежит на единичной сфере в R3, а Д означает внешнее
произведение;
3) уравнениями цепочки Тода
Ая Яп+тЧп Чп-Чп-1
= е - е
dt2
для координат qn, -оо<д"<оо.
Эти модели в основном тексте разобраны наиболее подробно. Кроме них в
книге фигурирует еще ряд физически интересных моделей (модель jV-волн,
киральное поле, модель Ландау - Лифшица). Наконец, во второй части также
содержится достаточно общая схема классификации интегрируемых моделей и
метода построения их решений.
С технической точки зрения основные отличия нашего изложения состоят в
следующем:
1. Вместо оригинального представления Лакса
[L, Л]
at
и соответствующей вспомогательной линейной задачи
12
ВВЕДЕНИЕ
мы с самого начала используем представление нулевой кривизны
+ V] = 0
at дх
и вспомогательную линейную задачу в форме
dJL = U{x,k)F.
дх
2. Наряду с обычным исследованием прямой и обратной задач для
вспомогательной линейной системы на бесконечном интервале мы
рассматриваем еще и конечный интервал -LtgZxtgZL с квазипериодическими
граничными условиями. Однако соответствующая обратная задача основана на
анализе на римановых поверхностях и выходит за рамки нашего изложения.
3. При исследовании обратной задачи вместо традиционных уравнений
Гельфанда - Левитана - Марченко мы ставим в основу матричную задачу
Римана - задачу об аналитической факторизации матриц-функций. Как теперь
стало ясно, этот метод более универсален п технически более прозрачен. На
примере уравнения НШ мы объясняем, как метод Гельфанда-Левитана- Марченко
находит свое естественное место в рамках метода задачи Римана.
4. Гамильтонова структура задается в терминах так называемой r-матрицы.
Этот метод родился в недрах квантового метода обратной задачи и лишь
затем был использован в его классическом варианте. Мы считаем метод r-
матрицы наиболее адекватным и универсальным и постараемся это объяснить.
5. Мы приводим достаточно содержательную классификацию интегрируемых
моделей, основанную на понятии r-матрицы. Адекватным языком для
