Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
метода и к другим уравнениям.
После этого развитие метода обратной задачи и его приложений пошло с
нарастающей скоростью и привело в настоящее время к созданию целой
области математической физики. Характерно, что работы по этой теме носят
в основном коллективный характер, и можно выделить несколько сложившихся
групп; кроме уже упоминавшейся Принстонской группы, это:
8
ВВЕДЕНИЕ
Московская группа, представителями которой являются Захаров, Манаков,
Новиков, Крпчевер, Дубровин и Михайлов;
Потсдамская группа - Абловитц, Кауп, Ньюел, Сегур и их сотрудники;
Аризонская группа в составе Флашки, Лэмба и Маклафлина.
В более позднее время появилась Киотская группа - Сато, Мива, Джпмбо,
Кашивара и их сотрудники.
Есть и другие центры: Нью-Йорк - Лаке, Кейс и Трубовитц; Рим - Калоджеро
и Дегасперис; Манчестер - Буллоу и его сотрудники; Фрайбург - Полмайер и
Хонеркамп. В Москве к уже указанным выше присоединяются Гельфанд, Манин,
Переломов и их сотрудники. И, наконец, в Ленинграде также сформировалась
своя группа, к которой относятся авторы данной книги, а также Корепнн,
Кулиш, Рейман, Склянин, Семенов-Тян-Шан-ский, Изергин, Итс и Матвеев.
Кроме упомянутых групп, есть и более "одинокие" исследователи, сделавшие
важный вклад: Шабат, Мозер, Костант и Адлер.
Здесь мы перечислили лишь специалистов в области математической физики и
не упомянули о большой армии исследователей, занимающихся приложениями
теории солитонов к квантовой теории поля, физике твердого тела,
нелинейной оптике, физике плазмы, гидродинамике, биологии и к другим
разделам естествознания. Одно это впечатляющее перечисление людей и
сюжетов указывает на размах интересов участников и их географию.
В настоящее время можно считать, что теория солитонов достигла зрелости.
Естественно, что во многих группах появилось желание отразить свои
взгляды на развитие предмета в монографиях. Ряд книг, отражающих интересы
и взгляды упомянутых школ, уже появился. Это монографии:
Захаров, Манаков, Новиков, Питаевский "Теория солитонов: Метод обратной
задачи" [3];
Лэмб "Элементы теории солитонов" [23];
Абловитц, Сегур "Солитоны и обратное преобразование рассеяния" [8];
Дегасперис, Калоджеро "Спектральные преобразования и солитоны" [11];
Додд, Гиббон, Моррис, Эйлбек "Солитоны и нелинейные волны" [12].
Сборники статей:
"Солитоны в действии", под редакцией Лонгрена и Скотта [25];
"Солитоны", под редакцией Буллоу и Кодри [9];
"Преобразования Бэклунда", под редакцией Миуры [27];
"Теория солитонов", под редакцией Захарова и Манакова [26];
ВВЕДЕНИЕ
5) "Нелинейные эволюционные уравнения, решаемые с помощью спектрального
преобразования", под редакцией Калоджеро [10], а также учебник
Эйленбергера "Солитоны: математические методы для физиков" [13].
Мы в Ленинграде тоже достигли такого состояния, что после написания ряда
обзоров [5, 14-16], посвященных квантовой теории солитонов и ее
применению в квантовой теории поля, решили изложить свои взгляды на метод
обратной задачи в целом.
Естественно, что на эти взгляды накладывают отпечаток наши интересы,
связанные с квантовой формулировкой теории солитонов. Развитие квантового
варианта метода обратной задачи, начавшееся с 1978 года и отраженное в
серии обзоров [4, 6, 7, 16-20, 22, 28], заставило нас по-новому взглянуть
на основные приемы и средства метода обратной задачи в классическом
варианте. Особенно это относится к использованию языка гамильтоновой
динамики, естественно связанного с квантовыми приложениями.
Дело в том, что большинство интегрируемых моделей (в том числе все
интересные для приложений) обладают гамильтоновой структурой, т. е.
соответствующие уравнения представляют собой "бесконечномерные аналоги
гамильтоновых уравнений классической механики. При этом преобразования
метода обратной задачи находят естественную интерпретацию как
канонические преобразования по отношению к этой структуре, а переменные.
в которых нелинейные уравнения линеаризуются, получают смысл переменных
действие - угол.
На примере уравнения Кортевега - де Фриза эта программа была
сформулирована н реализована в 1971 году в период становления теории в
работе Захарова и Фаддсева "Уравнение Кортевега - де Фриса-вполне
интегрируемая гамильтонова система" [1]. В дальнейшем она была
осуществлена п для других интересных моделей.
В упомянутых выше монографиях других авторов гамильтонов подход, как
правило, упоминается, но не играет руководящей методологической роли.
Упор на гамильтоновость, соответствующий выбор материала и его
расположение составляют основные отличия нашей книги от других. В то же
время она внутренне самосогласована и может служить как самостоятельное
введение в предмет.
Первоначально мы планировали написать книгу, посвященную главным образом
квантовому варианту, в которой предполагалось поместить подходящее
введение в классический метод. Однако в процессе работы этот проект, как
это часто бывает, разросся, и поэтому мы решили разбить книгу на две.
