Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
метода задачи Римана § 5. Иллюстрация общей схемы на примере модели НШ
489
§ 6. Комментарии и литературные указания 497
Заключение 503
Список литературы 504
Предметный указатель 523
ПРЕДИСЛОВИЕ
В данной книге излагаются основы метода обратной задачи и его приложение
к теории солитонов в том виде, как мы его понимаем в Ленинграде.
Понятие солитона было введено Крускалом и Забусским в 1965 году.
Солитоном (уединенной волной) называют локализованное частицеподофное
решение нелинейного уравнения, описывающее возбуждения с конечной
энергией, которое обладает рядом характеристических свойств: при
распространении изолированной волны она сохраняет свой профиль; при
взаимодействии нескольких волн происходит их упругое рассеяние, так что
сохраняются как их число, так и профили. Иногда понятие соли-тона
трактуют в более широком смысле как локализованное решение с конечной
энергией. В настоящее время понятие солитона получило широкое
распространение. Это объясняется его универсальностью и обилием
приложении при объяснении различных процессов в нелинейных средах.
Математический аппарат теории солитонов - метод обратной задачи - стал
мощным инструментом математической физики для исследования нелинейных
уравнений в частных производных, сравнимым по силе с методом Фурье.
В основу книги положена гамильтонова интерпретация метода, что и
объясняет выбор ее названия. В современной математической физике методы
дифференциальной геометрии и, в особенности, гамильтонов формализм имеют
большую популярность. Именно на основе общих соображений гамильтонова
формализма метод обратной задачи получил наиболее элегантную
формулировку. Кроме того, гамильтонов формализм является связующим звеном
классической и квантовой механики. Поэтому данная книга, помимо введения
в классическую теорию солитонов, является основой для перехода к
квантовой теории солитонов, которую мы планируем изложить в следующей
монографии.
Мы адресуем эту книгу специалистам по современной математической физике.
Этим обусловлен выбор материала и уровень математической строгости. В то
же время мы надеемся, что она будет интересна и специалистам в других
областях математики, а также физикам-теоретикам. Однако как
математическая монография она не содержит приложений теории солитонов к
конкретным физическим явлениям.
б
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга создавалась в течение двух лет в Ленинграде. Ее содержание
претерпевало ряд изменений в связи с продолжающимся развитием метода. Мы
надеемся, что в настоящем виде она приобрела достаточно устойчивую форму.
В то же время мы не претендуем на полное отражение современного состояния
метода. В этом смысле она является введением в предмет, а не изложением
всех современных конструкций, связанных с многомерными обобщениями и
представлениями бесконечномерных алгебраических структур.
Мы благодарны нашим коллегам по лаборатории математических проблем
теоретической физики ЛОМИ: В. Е. Корепину, П. П. Кулишу, А. Г. Рейману,
Н. Ю. Решетихину, М. А. Семено-ву-Тян-Шанскому, Е. К- Склянину и Ф. А.
Смирнову, общение с которыми, бесспорно, повлияло на содержание этой
книги. Мы также признательны В. О. Тарасову, взявшему на себя труд
внимательно прочитать рукопись книги.
ВВЕДЕНИЕ
Теория солитонов и связанная с ней теория интегрируемых нелинейных
эволюционных уравнений в двумерном пространстве-времени привлекли за
последние 15 лет внимание большого количества исследователей широкого
спектра: от алгебраиче-
ских геометров до специалистов по прикладной гидродинамике. В современной
математической физике сложилась целая большая область, посвященная этой
теории, носящая название метода обратной задачи интегрирования нелинейных
уравнений. (Альтернативные названия - метод обратного спектрального
преобразования, метод изоспектральных деформаций и более жаргонное -
метод Z. - А пар.)
Начало методу положила пионерская работа Принстонской группы. Мы имеем в
виду работу "Метод для решения уравнения Кортевега-де Фриза" Гарднера,
Грина, Крускала и Миуры, опубликованную в 1967 году [21]. Они предложили
замечательную нелинейную замену переменных в этом уравнении, после
которой оно становится линейным и явно решается. В описании этой замены
участвует формализм прямой и обратной задач рассеяния для одномерного
уравнения Шредингера. Название метода связано с этим обстоятельством.
Период становления метода обратной задачи связан с двумя работами:
1) работой Л а кс. а "Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и
уединенные волны", опубликованной в 1968 году [24], в которой были
формализованы результаты работы [21] и введено понятие L - А пары Лакса;
2) работой Захарова и Шабата "Точная теория двумерной самофокусировки и
одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах" 1971 года [2], в
которой показано, что понятие L - А пары не является специальным
свойством уравнения Кортевега -де Фриза, а применимо и к нелинейному
уравнению Шредингера; тем самым были открыты перспективы для применения
