Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
и ф_. Для этого уравнение (1.1) следует модифицировать, добавив линейный
член - 2хр2ф, так что оно запишется в виде
3) Квазипериодические граничные условия. Здесь мы считаем, что ф -
гладкая функция, удовлетворяющая условию
где О^0<2л н 0 не зависит от t. Как и в предыдущем случае, это условие
согласовано с уравнением (1.1). Ясно, что в этом случае достаточно
исследовать уравнение (1.1) в фундаментальной области группы сдвигов,
порожденной преобразованием х^х+2L. Для определенности в качестве этой
области выберем интервал -L^Zx<cL.
Условия 3) являются наиболее общими из приведенных. Остальные получаются
из (1.6) последовательными предельными переходами L->oo, р-И).
Уравнение (1.1) вместе с приведенными граничными условиями определяет
динамическую систему, которую мы называем моделью НШ.
Убедимся, что эта модель является гамильтоновой для всех трех граничных
условий. Мы считаем, что читатель знаком с основными понятиями
гамильтоновой механики, во всяком случае для конечномерных динамических
систем. Поэтому ниже мы обсудим лишь специфику, связанную с
бесконечномерностью нашей системы.
Начнем с быстроубывающего случая. Фазовое пространство Jtо является
вещественным линейным бесконечномерным пространством, комплексные
координаты в котором задаются парами функций ф>(х) и -ф(jc) из IR1).
Наглядно можно считать, что переменная х играет роль номера координат;
при фиксированном х значения ф(х) и ф>(х) пробегают двумерное вещест-
(1.5)
ф(х+2L, ()=егеф(.г, t),
(1.6)
16
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
венное пространство К2 с вещественными координатами Re ф (а) = (ф (а) +ф
(а) ) /2, Im ф (а) = (ф (а) --ф (а) ) /(2t).
Введем алгебру наблюдаемых на фазовом пространстве Для этого рассмотрим
вещественнозначные функционалы вида
оо со оо
F (Ф, Ф) ==с + ^ I ' ¦ • 5 с"'" (Уи ¦¦ ¦' У* I Д. • ¦ > z>r) х
п,т= 0, -л ---о 0,0)
ХФ (У\) ¦ • • Ф (^") Ф fe) ¦ ¦ • Ф Ы Clyx ... я!г/" сТу . . . dzm,
(1.7)
где спт(уи . . ., yn\zi, . . . , zm) - обобщенные функции над
.5,(К'1+т), симметричные по наборам переменных уи ..., уп н zu . . . , zm
в отдельности и удовлетворяющие условию вещественности
Сцт (Уъ • • • I Уп \ Zj, . . . , ?ш) - Стп (Zj, . . ¦ , Zm [ Z/t, • . . >
1/rt)- (1 -8)
Предположим также, что ряд (1.7) абсолютно сходится при всех Ф(а), ф(а)
из ^(R1). Такие функционалы естественно называть вещественно-
аналитическими.
В соответствии с общим определением вариационных производных
6F (ф, ф) = F (ф + бф, ф + бф) - F (ф, ф) =
со
= f ( Т777 ^ М + ) dx' ^ У
J \6Ф(А) бф(.Г) }
- СО
с точностью до членов более высокого порядка малости по бф и 8ф, для
функционалов вида (1.7) имеем
6F
бф (а)
ti.in-о, (л,т)тДо,о)
X Ф (1/х) • • • Ф (Уп-l) Ф (Zj) ... Ф (z,") .. . dz,n, (1.10)
&F " " г
-~-----== tTl \ ... 1 Cnm {у i, . . . > У п. | X, . . ., Ztn-i) X
"Ф W "?".. I i
(п.,т)ф{ с,о)
х Ф (1/х) • ¦ • Ф (Уп) Ф (Zi) ... Ф (Z,л-1) dz/x .. • dyn dzx ... dzm^.
(1.11)
8F SF
Таким образом, вариационные производные -. , , > _ явля-
Оф W ояр (х)
ются, вообще говоря, обобщенными функциями. Функционал называется
гладким, если эти производные являются функциями из пространства Шварца.
§ 1. ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ НШ
17
Гладкие вещественно-аналитические функционалы составляют алгебру
наблюдаемых на фазовом пространстве На алгебре наблюдаемых введем
пуассонову структуру посредством скобок Пуассона
{У?, G} = i Г ------J!L-W-\dx. (1.12)
I Н(х) бф (X) бф (Л-) 5Ф (*) )
Введенная в (1.12) операция очевидным образом удовлетворяет основным
свойствам скобок Пуассона:
{F, G} = -{G, F} (1.13)
- свойство антисимметрии и
{F, {G, Н)) + {Н, {F, G}} + {G, {Я, F}}=0 (1.14)
- тождество Якоби.
Формула (1.12) обобщает па бесконечномерный случай обычную скобку
Пуассона для функций на фазовом пространстве с вещественными координатами
ph, qh, /г=1, ..., п,
{/, ё) = . (1*15)
k -
dPk ac!k °Pk I
записанную_в комплексных координатах zk= (qk + ipk) zh =
= (<?WpJ/V 2:
<Лг> = '2(т^-jT-M- С-16)
?i { дг'< дЧ дгь dzk I
Координаты ф(х) и ф(л:) на Ж0 сами можно рассматривать как функционалы,
однако их вариационные производные являются обобщенными функциями
ЯТТТ = б^_4')' = (1лу)
бф (У) бф (у)
a foi>_(*). и б>1' 1Д1 исчезают. Здесь 8(х-у) -8-функция Дирака, бф (у)
6Ф (У)
Подставляя формально (1.17) в выражение (1.12), получаем соотношения
КМ. Д (Я)} = {Д (-^). ^(Я)} = 0. КМ. УШ = М(х - Я). (1-18)
которые можно положить в определение пуассоновой структуры, считая, что
{F'G}= f f +
\бф (*) бф (у) ^ бф (X) (у)
+ -^-г7ттКМ. Ч>(0)} +т^--#-КМ. 4(y)})dxdy. (1.19) бф (jr)j (У) бф
(лг) бф (у)
18
ГЛ, I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
В самом деле, подставив (1.18) в (1.19), мы получим (1.12). Из этих
формул также получаем выражения
8F i{F,V(x)}, (1.20)
(х)
Из приведенного определения очевидно, что введенная скобка Пуассона
невырожденна на алгебре наблюдаемых, т. е. из условия
{F, G}=0 (1.21)
для любой наблюдаемой G следует, что Г(ф, ^)=const. Действительно, из
(1.21) вытекает, что вариационные производные J F " 8F
