Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 19

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 180 >> Следующая

будем следовать схеме, развитой для быстроубы-вающего случая, опуская
несущественные детали.
Роль матрицы Е(х, X) будет теперь играть матричное решение Ер(х, X)
уравнения
которое получается из (8.6) при х->-оо. Непрерывный спектр задачи (8.7)
состоит из вещественных X, удовлетворяющих
lim ф (х) = ре|<р±, q;+ - ф_ = 0
(8.1)
X->±оо
(8.2)
и
(8.5)
(8.4)
(8.3)
^-=U(x, X)F
dx
(8.6)
-?{x,X) = U^{X)Ep{x,X),
(8.7)
56
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
условию
^^гсо2. (8.8)
Множество таких X обозначим через Кш. При X из мы выберем матрицу Ер(х,
X) в виде
I (k - а) х
\ ikx
ЕР(*Л)= ,¦ /у _ ь\ " К"7-'3. (8.9)
1
где
/г(^)=р.2-со2 (8.10)
и ветвь квадратного корня фиксируется условием
sign k(X) = sign X. (8.11)
Такой выбор Ер(х, X) однозначно определяется условиями об аналитической
продолжимости Ер(х, X) в плоскость k, при которых первый столбец убывает
при х->-оо и 1т&>0, а второй - при х-И-оо и Im k>0.
Соответствующее решение уравнения, получающегося из
(8.6) при х-^-+оо, имеет вид Q-1 (0)?р(х, X).
Рассмотрим теперь более подробно аналитические свойства матрицы Ер(х, X).
Заметим, что, в отличие от Е (х, X), матрица Ер(х, X) не унимодулярна:
det?0 (х, Х)=2к (Я:~-Ф (8.12)
со2
и, таким образом, вырождается при A,=dzw. При р->-0 матрица Ер(х, X) не
унимодулярна:
Основное отличие вспомогательной линейной задачи (8.6) от аналогичной
задачи для быстроубывающего случая состоит в том, что непрерывный спектр
имеет лакуну -со<А-<со. Точки вырождения матрицы Ер(х, X) являются краями
непрерывного спектра. Аналитические свойства Ер(х, X) естественно
формулировать на римановоп поверхности Г функции k(X). Поверхность
Г состоит из двух экземпляров Г+ и Г_ комплексной плоскости
С* с разрезами по вещественной оси от -оо до -со и от со до оо (см. рис.
2) с отождествленными надлежащим образом берегами разрезов.
Точку на Г, отличную от точек ветвления ±со, будем задавать парой (X, е),
где X - комплексное число, а е = ±1, причем е = 1 на листе Г+ и е =-1 на
листе Г_. Функция k(X) вводится на Г формулой (8.10), где =tlm k(X) ^0 на
листах Г±. Альтернативным образом лист Г+ характеризуется условием &(^-
И'0)>0 при Im^=0 и Х>а; при этом &(^+i'0)<0 при 1т?.=0, -со. Та-
ким образом, соглашение (8.11) выполняется для предельных
§ 8. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. РЕШЕНИЯ ПОСТА
57
значений k на верхних берегах разрезов на листе Г+ и на нижних берегах
разрезов листа Г~
В дальнейшем мы часто будем опускать зависимость функции k(X) от Я. Таким
образом, в формулах, где участвуют k и Я, всегда подразумевается, что k
является введенной функцией Я.
л
-СО со
Рис. 2
При Я вне разрезов матрица Ер(х, Я) не является ограниченной функцией х.
При этом ее первый столбец на Г+ и второй столбец на Г_ экспоненциально
убывают при х->-оо, а второй столбец на Г+ и первый столбец на Г_
экспоненциально убывают при х->-+ оо. В стороны, противоположные
указанным, эти столбцы экспоненциально растут.
Матричные решения Поста уравнения (8.6) при Я из Rm введем при помощи
интегральных представлений
ОО
Т+ (х, Я) = (Г1 (0) ЕР (х, Я) + J Г+ (х, у) ОТ1 (0) Ер {у, Я) dy (8.13)
X
И
х
T_(x,l) = Ep(x,l)+ ^T__(x,y)Ep(y,l)dy. (8.14)
-ОО
Для их вывода используем альтернативный к § 3 метод. Именно, подставим
представления (8.13) и (8.14) в уравнение (8.6) и соберем члены при
одинаковых матрицах Е"(х, Я). В результате получаем, что ядра Г±(х, у)
удовлетворяют дифференциальным уравнениям
-~Т±(х,у) + о3^~Г& (х, у) о3 - U0 (х)Т±(х,у) +
+ o3T±(x,y)o3U±
где
fAr = lim U0 (х) = U± (Я) + о3,
Х~>±ос 2
и граничным условиям
Г± (х, х) - а3Г ± (х, х) о3 = zp (U0 (х) - и±), (8.17)
lim Г±(х, у) = 0.
у^± оо
= 0, (8.15) (8.16)
58 ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
Эти дифференциальные задачи - задачи Гурса - могут быть сведены к
системам интегральных уравнений. Например, для ядра Г_(л:, у) имеем
систему уравнении
rLd) (х, у) = J (U0 (s) rLnd) (s, s + у - x) +
-ОО
+ rind) (s, s + у - x) г/Jds, \8.\8)
Tind) (x, y)=-j(Uо (^j - U~) +
X
+ f (U0(s)T^(s,x + y - s)-T^(s,x + y - s)UJds, (8.19)
(¦x \ry)ii
где x^y и через ri.d)H rLnd) мы обозначили диагональную и анти-
диагональную части матрицы Г_ соответственно.
Эти уравнения вольтерровы, и итерации для них абсолютно сходятся. При
наших условиях на ф(л:), ф(д:)- решение Г_(л:, у) является бесконечно
дифференцируемой функцией х и у, швар-цевского типа по у при у->-оо.
Аналогичным образом исследуется ядро Г+(л:, у), которое является функцией
типа Шварца по у при у-*-+ оо.
Так доказываются представления (8.13) и (8.14), определяющие решения
Йоста. Рассмотрим теперь их свойства.
1) Из представлений (8.13) и (8.14) следует, что решения Йоста имеют
асимптотики при [je[-"-oo
Т+(х, X) = Q~,(Q)Ep(x, X) +о(1) при х->-+оо (8.20)
и
Т-(х, X) =Ер(х, Я)+о(1) при х->-оо. (8.21)
2) При X из R ш матрицы Т±{х, X) получаются из матрицы перехода Т(х, у,
X) в пределе при у-*-±оо:
Т+ (х, X) = lim Т (х, у, X) Q-1 (0) Ер {у, X) (8.22)
У~*\гОО
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed