Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
моделей SG и Л - Л примерами тригонометрических и эллиптических r-матриц.
В § 1 мы убедились, что рациональные г-матрицы определяют структуру
алгебры Ли С0(д). Возникает вопрос об описании и геометрической
интерпретации тригонометрических и эллиптических г-матриц, который мы и
обсудим в этом параграфе.
Мы начнем с построения обширного семейства таких г-матриц. В основу
положим функциональные уравнения
r12(-X)=-r2l(X) (2.2)
И
[g2(^- р), г13(Х) +/-23(ц) ] + [/"is (А,), г23(ц)]=0, (2.3)
которые обеспечивают свойство антисимметрии и тождество Якоби для
фундаментальных скобок Пуассона (см. § III.1 части I). Здесь индексы 12,
21, 13, 23 указывают на конкретное вложение элемента г из g(r)g в g(r)g(r)g
(сравни с аналогичными обозначениями для матриц в § III.1 части I).
Очевидно, что г-матрица вида (2.1) этим соотношениям удовлетворяет,
причем равенство (2.3) эквивалентно тождеству Якоби для структурных
констант Сф.
Замечательное свойство соотношения (2.3) состоит в том, что оно допускает
усреднение по решетке в комплексной плоскости переменной X. Именно, пусть
0 - автоморфизм полупростой алгебры Ли g конечного порядка q, 05 -I, и
Ai={nco, п-
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ г-МАТРИЦЫ 467
=-оо, оо}-одномерная решетка в С с образующей со. Введем действие
аддитивной группы сдвигов решетки на r-матрицу вида (2.1) по формуле
г(Х)^г^(Х) = (вп(r)1)г(Х-па) = (/00-п) г(Х-па). (2.4)
Здесь последнее равенство в (2.4) отражает инвариантность r-матрицы вида
(2.1) относительно диагонального действия автоморфизма 0
(000) г (X) = г(Х), (2.5)
которая, очевидно, следует из формулы
(000)11 = 11. (2.6)
Пусть
г^(Х) = 2 г'^{Х) (2.7)
П=-эо
- результат усреднения г-матрицы вида (2.1) по решетке Ль .Усредненная r-
матрица rAl(X) квазипериодична:
гЛ' (^+со) = (00/) гл- (X) = (/00-1) гл' (X), (2.8)
удовлетворяет уравнению (2.2) и, на первый взгляд, уравнению
(2.3). Действительно, заменим в (2.3) X на X-/г со, р на р-тсо и применим
к левой части автоморфизм 0"00т0/. Учитывая свойства (2.5), мы получим
равенство
[г\Тт) (Я. - р), Г{$ (X) + И? (р)] + [/•<? (X), W (р)] = о, (2.9)
откуда соотношение (2.3) для rAi(X) получается в результате суммирования
по п и т.
Однако это рассуждение слишком наивно и, вообще говоря, неверно. Дело в
том, что ряд в (2.7) сходится лишь в смысле главного значения
00 N
v. p. V = lim V (2.10)
"=-00 Л'^°° "=-Л/
и замена суммирования по п и т на суммирование по п-т и т или п-т и п
незаконна.
Выясним, каким условиям должен удовлетворять автоморфизм 0 для того,
чтобы ряд (2.7) все-таки удовлетворял уравнению (2.3). Используя формулу
468 ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИП ПОДХОД
для ряда (2.7) получаем выражение
гл*(7) = - V ctg n&-*aL (0*(r)7)П, (2.12)
00) ^ 00)
fc=o ^
так что функция rAi(^) действительно квазиперподична в смысле (2.8).
Обратимся теперь к уравнению (2.3) н обозначим его левую часть через Ф
(X, р):
Ф (К р) = [/•? (Я, - и), пЛ,' (Я) + /& (р)] + [4' (Я), (и)] .(2.13)
Рассмотрим Ф (X, р) как функцию переменной X при фиксированном р,
p^O(modAi). Она удовлетворяет условию квазнпе-риодичности
Ф(7 + со, р) = (0(r)/(r)/)Ф(7, р) (2.14)
и может иметь лишь простые полюса в точках 7= р(mod АО и 7=0(modAi).
Убедимся, что Ф (X, р) является целой функцией X. Действительно, ее вычет
при 7=р имеет вид [IIi2, rlV(p) +/%V (р)] и исчезает в силу свойства
[П, А(r)1 + 1(r)А) = 0 (2.15)
(см. (1.30)). Аналогично рассматривается случай 7=0; при этом следует
использовать и уравнение (2.2). Далее, функция Ф(7, р) ограничена, так
что по теореме Лиувилля получаем
Ф (7, р) = Ф (± too, р) =
= ~J!T 1^1* ^ ± - [^1* + ^13, ггз (Р)], (2.16)
о2 со
где
! я-1
= - 2 (в* <8>/) П. (2.17)
k=0
Отсюда заключаем, что
' [^12+^13, 4'(Ю] = 0 (2.18)
и
Ф(7,р) = -^ [^1*^23]. (2.19)
О)2
Итак, мы доказали, что ряд (2.12) удовлетворяет уравнению
(2.3), если
^2з] = 0. (2.20)
Это и есть необходимое условие на автоморфизм 0. Нетрудно убедиться, что
оно эквивалентно следующему:,
[Ха, *"]=0, (2.21)
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ г-МАТРИЦЫ
469
где для любого генератора Ха через Ха мы обозначили его усреднение Xa=q-
'{J + % + . - . + 03-1)Ха, инвариантное относительно действия 0. Условие
(2.21) означает, что подалгебра \) в д, состоящая из неподвижных точек
автоморфизма 0, абелева.
Таким образом, мы получили новое семейство г-матриц вида
(2.12), параметризованное одномерной'решеткой и автоморфизмом 0 конечного
порядка, подалгебра неподвижных точек которого абелева. Формула (2.12)
показывает, что такие г-ма-трицы естественно называть
тригонометрическими.
Еще одно семейство г-матрнц получается при усреднении г-матрицы вида
(2.1) по двумерной решетке Л2= {/лоц-Иысо,;
Im->0, Hi, п2 =-оо, ..., оо}. Пусть 0! н б;-автоморфизмы
mi
алгебры Ли g порядков д, и q2 соответственно, а г'Дл) -усредненная г-
матрица
оо ОО
' гЛ'(Х)= ^ ^ (01*й-2 2)1) г (к - пхых - Пп(я2). (2.22)
П1=--(У0
Для справедливости "наивного доказательства" уравнения (2.3), основанного
