Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
действие - угол.
11) Модель LSG была сформулирована в работах [3.4], [3.20]. В [3.10] было
показано, что эта модель в быстроубывающем случае является вполне
интегрируемой, и приведены переменные типа действие - угол.
12) В работах [3.1] и [3.10] было показано, что переменные типа действие-
угол для моделей РЛ-Л и LSG совпадают со своими аналогами для моделей Л-Л
и SG, и подчеркнуто, что этот факт обусловлен совпадением соответствующих
г-матриц.
13) Использованная нами схема построения локальных гамильтонианов для
моделей на решетке была развита в работах [3.5], [3.21]. Отметим, что
рассмотренный в [3.10] гамильтониан из [3.5], [3.21] отличается от
приведенного в § 5.
14) При построении решеточного аналога модели Л-Л мы положили в основу
построение матрицы Ln(k) из вспомогательной линейной задачи,
удовлетворяющей фундаментальным скобкам Пуассона. Мы считаем, что этот
принцип является наиболее удачным для построения интегрируемых решеточных
аналогов непрерывных моделей.
Г л а в а IV
ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД К КЛАССИФИКАЦИИ
И ИССЛЕДОВАНИЮ ИНТЕГРИРУЕМЫХ МОДЕЛЕЙ
В этой главе мы обобщим накопленный при рассмотрении конкретных примеров
опыт описания интегрируемых моделей. Основными объектами метода обратной
задачи и его гамильтоновой интерпретации являлись оператор
вспомогательной линейной задачи L=--U(х, X) и фундаментальные скобки
Пуассо-dx
на для матрицы U(х, X), в которых участвует r-матрица. Аналогичные
объекты были введены и для моделей на решетке. Мы покажем, что эти
понятия допускают простую геометрическую интерпретацию.
Мы приведем естественное разбиение интегрируемых моделей на три
семейства: рациональные, тригонометрические и
эллиптические, в соответствии с видом зависимости матриц U(х, X) и г(Х)
от спектрального параметра X. Мы дадим интерпретацию фундаментальных
скобок Пуассона для рационального семейства в терминах бесконечномерной
алгебры Ли, ассоциированной с алгеброй токов. Тригонометрические и
эллиптические семейства получаются при помощи процедуры усреднения по
одномерной и двумерной решеткам на комплексной плоскости спектрального
параметра X- Аналогичные семейства имеются и для решеточных моделей, и мы
обсудим соответствующие им фундаментальные скобки Пуассона. Ограничиваясь
рациональным случаем, мы также обсудим с общей точки зрения и динамику
интегрируемых моделей. При этом мы получим естественную геометрическую
интерпретацию задачи Римана. Мы приведем также ли-алгебраическую
интерпретацию иерархии пуассоновых структур и соответствующего Л-
оператора.
§ 1. Фундаментальные скобки Пуассона, порожденные алгеброй токов
Напомним определение стандартной пуассоновой структуры, ассоциированной с
произвольной связной группой Ли G, dim G = = п. Пусть g - ее алгебра Ли и
Ха, а= 1, ..., п,- ее генераторы со структурными константами СаЬ:
[Ха, Хь] = ССаьХс. (1.1)
§ 1, ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СКОБКИ ПУАССОНА
457
Здесь и ниже мы принимаем соглашение о суммировании по повторяющимся
индексам. В линейном пространстве д\ двойственном к д, естественно
вводятся координаты иа: если |=|"А0 принадлежит д, то и{\) = (и,
|) =иа\а. В алгебре гладких
функций f(u) на д* определим скобку { , }: s?'X.s4-^s&,
{fvh}(u) = -CCab~^Uc, (1.2)
диа диь
которая, очевидно, антисимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби в силу
соответствующего тождества Якоби для коммутатора (1.1). Таким
образом, скобка (1.2) задает пуассонову
структуру на фазовом пространстве д*. Для координат иа скобка Пуассона
(1.2) принимает вид
(Нд, иД = ¦ CabU-c (1.3)
и называется скобкой Ли - Пуассона.
Пуассонова структура (1.2), вообще говоря, вырожденна. Ее аннулятор
совпадает с алгеброй функций Казимира 7(g), состоящей из функций /(и),
инвариантных относительно коприсоеди-ненного действия u<-+Ad,g¦ и группы
G на д*, задаваемого формулой
Ad'g-u(l)=u(g-llg). (1.4)
Ограничение скобки Пуассона (1.2) на орбиты этого действия невырожденно,
так что пуассоновы подмногообразия в д* представляют собой объединения
орбит.
Фактически в этих определениях используется лишь алгебра Ли g группы G и
ее коприсоединенное действие м>->-асГт]-м, задаваемое формулой
ad'ri-м(|) =м([|, т|]). (1.5)
Орбиты действия Ad* группы G в д* являются интегральными многообразиями
для распределений, порожденных векторными полями ad*T] при всех ц из д.
Поэтому мы будем говорить о ли-алгебраической пуассоновой структуре,
порожденной скобками Ли.
При описании интегрируемых систем мы будем иметь дело с бесконечномерными
алгебрами Ли. Все приведенные выше определения переносятся на них
естественным образом.
Рассмотрим алгебру токов С(д), ассоциированную с алгеброй Ли д. Она
состоит из формальных рядов Лорана \(Х) по переменной X
оо
sft)= 2 (1.6)
?^"-оо
где принадлежат g и символ -оо означает, что ряд по степеням Х~1
обрывается. Коммутатор в С(д) задается очевидной
458
ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИИ ПОДХОД
формулой
л(*)1 = 2 2 ({'7>
k^>-oc i+j-k
В качестве генераторов алгебры С(д) можно взять элементы вида
