Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(5.43)
и мы использовали введенное там обозначение tr,. Из формулы (5.32)
следует, что {Н, Ln(X)} совпадает с правой частью в (5.41), где
Уп (Я) = j (Vn (К К) + Уп (К К)). (5.44)
Таким образом, уравнения движения
й^-(к) = {Н,ЬпЩ (5.45)
at
представляются в виде (5.41).
Выражение для матрицы РДЯ) можно упростить, используя формулы (5.29),
(5.35) и (5.37). Имеем
,, ... 1)г(ко - I) tn (а2Р"_1<а2(r)/)М70 + 7) _
у п \Ч -
1 2аЖ-1
= Д ( *Г1 ((^п-1 (К) Ln (^-о) (r) I) Г (L А,0) +
+ (Ln-i (-K)Ln(-^0) (r) I) г (^ + ^0)). (5.46)
Последняя формула показывает, что матрица РДЯ) зависит лишь от двух
ближайших соседей.
Подчеркнем, что как и в непрерывном случае, фундаментальные скобки
Пуассона на решетке заменяют представление нулевой кривизны. Это еще раз
демонстрирует полезность и универсальность понятия /--матрицы.
На этом мы заканчиваем описание модели РЛ-Л. Рассмотрим теперь модели,
получающиеся из нее вырождением эллиптической кривой Е (см. § 11.8).
Простейший предельный переход отвечает случаю ?->-0, при котором /1 =
/2</3. Соответствующая матрица Ln(h) приобретает вид
Ln (I) =SC7 + т^-г (^iV+^4+ соз^з'Ч), (5.47) I sin A
где переменные удовлетворяют скобкам Пуассона (5.8)-¦
(5.9) с /12 = 0, 713 = ^2з = р2- В этом случае для переменных 9*а
§ 5. РЕШЕТОЧНАЯ МОДЕЛЬ Л - Л 451
(в каждом узле) можно написать явное представление через обычные
переменные Slt S2, S3 на сфере радиуса R в IR 3
sl+ Sl + S; = R* (5.48)
со скобками Ли - Пуассона
{Sa, Sb}= -Sc. (5.49)
Именно, положим
,'/0 = ch (pS,), -(/'3 = - sh (pS:j),
Р
tf1=±F(S3)Su .y2=^F(S,-)S2 P P
(5.50)
где
(5-51)
Тогда переменные S'a удовлетворяют скобкам Пуассона (5.12) - (5.13), а
значения инвариантов и <?г1 имеют вид
= П=1- Ц-с0. (5.52)
р2 4
После подстановки формул (5.50) - (5.51) в (5.47) мы получим матрицу
Ln{X) для модели, которую естественно называть частично анизотропной
моделью РМГ; r-матрица для нее получается из (5.2) - (5.3) в пределе при
?-"-0 и имеет вид
г (X) = - -7- (<л + о2 'X) о2 + cos^a3 (х) стэ). (5.53)
2sm>.
Эта же r-матрица обслуживает и частично анизотропную модель МГ (см. §
1.8), в которую наша модель переходит в непрерывном пределе при наивной
замене
s(an} = ASa (*), R= А. (5.54)
Описанная частично анизотропная модель РМГ допускает дальнейшее
вырождение. Именно, в пределе р-Ю (заменяя X на 2рД) мы приходим к
изотропному случаю Jl = J2 = J3, отвечающему модели РМГ из § 1.2.
Соответствующая ей r-матрица получается из (5.53) в этом пределе и
совпадает с r-матрицей для модели МГ из § II.3. Как было объяснено в §
1.2, тем самым мы приходим и к модели РНШ,.
Опишем теперь решеточный аналог модели SG - модель LSG. По существу, она
является другой вещественной формой только что рассмотренной частично
анизотропной модели РМГ. Именно, мы поменяем роль параметров Jи J2, J3 и
будем считать,
452 гл. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
что Jt = J2>Jз, оставляя представления (5.3) - (5.4) (где /г = 0)
и вид (5.47) матрицы L" (I). неизменными. Ограничения (5.19) превращаются
в
-4-c"<ci<-Jzc"' (5-55>
4 4
и фазовое пространство модели в одном узле решетке гомео-морфно тору Р.
Переменные реализуются как функции - от канонических переменных л и <р на
торе
{я, ф} = 1. (5.56)
Именно, положим
=scos-^-. Р3= -sin-^-,
0 2 у 2
у>1 = tllL sin , if i=-m C0S-&L
Y 4 V 4
(5.57)
где
f. (x) = Y1 + s2cosp*/2, (5.58)
а ^ = р2/8>0 и s>0 - произвольные параметры. Тогда переменные Уа
удовлетворяют скобкам Пуассона (5.12) - (5.13) с параметрами
Jl2=0, fl3 = J23 = -f, (5.59)
где /, = /2=4'у2, /3 = 0, а инварианты W" и (ё?1 имеют значения
s2 Ч- 2 s2 - 2 сГЛ
со = -^-> Cl = ^_- (5'б0)
Рассмотрим теперь матрицу Ln° (а) вида
Lsna{a)=-isha<j2L" (га), (5.61)
где матрица Ln{K) дается формулой (5.47) с р = йу. Подставляя вместо 9>а)
их выражения (5.57) - (5.58) через я" и ср", получаем
Lsn° (а) = f (ф") cos I + \ f (ф") sin сг3 +
4 I 4
I 5 ( и ' . , Рфп \ ,г гС)\
-Hcha sin---Oj + shacos-- a2j . (5.62)
Матрица L"a (a) удовлетворяет фундаментальным скобкам
Пуассона (5.1) с r-матрицей вида (5.53) при X = ia, р = Й- Ма-
трица г (а) совпадает (с точностью до несущественного сла-
гаемого, пропорционального 1(r)1) с r-матрицей модели SG из § П.6.
§ 5. РЕШЁТОЧНАЯ МОДЕЛЬ Л - Л
453
Гамильтониан Н модели LSG имеет -вид
+ , (5-63)
2 ; <.а 1
где вместо &"' следует подставить их выражения (5.57) - (5.58) через я",
ф",_ и получается из формул "(5.36)'-(5.37) при учете
(5.60) -(5.61). Отметим, что изменение знака у слагаемых и
сравнению с (5.37) согласовано,с фор-
мулой (5.61), которая может быть интерпретирована как операция
альтернирования знака
^ * (- - (5.64)
(сравни с рассуждениями в §1.2).
Вспомогательная линейная задача (после замены к=еа), гамильтониан Я и
прочие характеристики модели LSG в непрерывном пределе
я" = Дя(л:), ф" = ср(лг), s = mA/2 (5.65)
переходят в соответствующие объекты для модели SG из § 1.1. Это
оправдывает название описанной вполне интегрируемой модели на решетке
