Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
2. N=0, М = 2.
Соответствующий элемент U(X) имеет вид
U(X) = U-t + XU-2=QaAa + XJaA", (1.46)
где Q", Ja-динамические переменные на фазовом пространстве С0,2 со
скобками Пуассона
{Qa,Qb} = CCabJc, (1.47)
{Qa, Jb} = {Ja, Jb} = 0.
464
ГЛ. IV. Л И - А Л ГЕБ РАИ Ч ЕС КИ П ПОДХО'Д
Рассмотрим простейший случай алгебр Ли g=su(2) или д= = su(l, 1) в
фундаментальном представлении с генераторами
r 1 11 1
Ха=-оа, а= 1, 2, 3, и Х1=-о3,Хг = - о,, Х3=-ач соответ-2 < 2 2 21
ственно. Интересующая нас орбита выделяется условиями
Jt = J2 = 0, /3 = е/2, (1,48)
Q3 = 0, Qt + iQa-f, (1.49)
где е=-1 для g = su(2) и е = 1 для g=su(l,l); единственная неисчезающая
скобка Пуассона имеет вид
{Ф, ф}=;. (1.50)
В результате матрица U(X) записывается следующим образом:
U(X) = -^o3+Ye(°i jf) (1,51)
2i \4' о /
и после замены ам-переходит в матрицу U(х, X) для модели НШ (см. § 1.2
части I), где % -е. При этой замене матрица
га),
г(Х) = - (Р - , (1.52)
X [ н2 2 ,
переходит (с точностью до несущественного единичного слагаемого) в r-
матрицу модели НШ из § III.1 части I.
В случае других алгебр Ли g мы получим векторные и матричные обобщения
модели НШ.
Таким образом, изложенная общая схема позволила не только включить два
основных примера этой книги, но и дать их содержательное обобщение. При
этом мы убедились, что модели НШ и МГ действительно являются простейшими
в бесконечной серии примеров: мы можем брать произвольные N и Л1^0,
алгебру Ли g и орбиту алгебры Ли Ся,м(з). Вспомогательная линейная задача
с матрицей U(х, X) вида (1.39) и г-матрица (1.31) порождают представление
нулевой кривизны для соответствующих гамильтоновых уравнений движения.
Ли-алгебраическая интерпретация соответствующих гамильтонианов и схема
решения уравнений движения будут приведены в § 4.
Здесь мы заметим, что приведенные примеры не исчерпывают все интересные
конечномерные фазовые пространства (при фиксированном х). Приведем еще
серию содержательных примеров. Начнем со следующего замечания. Скобки
Пуассона (1.41) можно вывести из соотношения (1.33), подставляя в него
U(X) в виде (1.40). При этом то, что полюс функции U(X) расположен в
точке >,=0, несущественно. Подстановка
SaAa
U(X) = -1- (1.53)
А - С
§ 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕТКИ ПУАССОНА
465
приводит к тому же результату. Эта функция U(X) уже принадлежит
пространству С+ (д) и соответствующие коэффициенты иа.ь отличны от нуля
при всех ^<0 и связаны соотношением
Ua,k-i^= Ua,k> (1.54)
с
которое вытекает из разложения (X-с)~' в геометрическую прогрессию.
Последние условия инвариантны относительно копри-соединенного действия
алгебры С0(д). Это же верно и для элементов
л' п' S"%Aa
(1-55)
fa! *=" ^ °t>
Таким образом, производящие функции вида (1.55) образуют пуассоново
подмногообразие в С*(д), параметризованное координатами S^P.a. В этих
координатах скобки Пуассона (1,3.3) принимают вид
,ЫС\ ыгх \- ОфЬ4S^k+1 при k + I ^ п{,
\Oa,k, = \ (1.00)
\ 0 в остальных случаях,
и представляют собой скобки Ли - Пуассона конечномерной алгебры Ли -
прямой суммы алгебр Cn[j.10 (g) по всем полюсам.
С матрицами U(x, X) вида (1.55) мы уже встречались в § 1.6-1.7 при
обсуждении решений общего уравнения нулевой кривизны. Здесь мы пришли к
ним, исходя из общих ли-алге-браических соображений, и ввели пуассонову
структуру для связанных с ними интегрируемых моделей.
Итак, в этом параграфе мы привели общую схему построения матриц U (х, X),
удовлетворяющих фундаментальным скобкам Пуассона с r-матрицей вида
(1.31), и объяснили геометрическое происхождение последних. Повторяя
рассуждения из части I, с каждой из матриц U(x, X) мы
можем связать серию
интегрируемых моделей. Именно, рассмотрим вспомогательную линейную задачу
d-^ = U(x,X)F (1.57)
dx
и ее матрицу монодромии
*-4 L
Т (X) = exp ^ U (х, X) dx (1.58)
-L
(где для определенности мы предполагаем периодические граничные условия).
Функционалы tr7'(>,) и другие алгебраические инварианты матрицы Т(Х)
образуют инволютивное семей-
466
ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД
ство, и гамильтоновы уравнения движения, порождаемые всеми функционалами
из этого семейства, допускают представление нулевой кривизны.
Геометрический смысл этих конструкций будет объяснен в § 4.
§ 2. Тригонометрические и эллиптические г-матрицы и связанные с ними
фундаментальные скобки Пуассона
В предыдущем параграфе для произвольной полупростой алгебры Ли g мы ввели
г-матрицу
(Здесь мы, допуская известную вольность, используем термин r-матрица и
для элемента г(Х) из g(r)g.) Она обобщает /--матрицы моделей НШ и МГ (см. §
III.1 части I и § II.3), которые отвечают алгебре Ли g=su(2) и имеют вид
Р/Х, где Р - матрица перестановки в С2(r) С2. Однако для других примеров -
моделей SG и Л - Л (см. § II.6 и II.8) - мы имеем более сложные г-
матрицы, которые зависят от спектрального параметра X посредством
тригонометрических и эллиптических функций соответственно. Естественно
называть r-матрицы вида (2.1) рациональными и считать r-матрицы для
