Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 142

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 180 >> Следующая

столь же эффективен для моделей на решетке, как и для непрерывных
моделей. Фундаментальные скобки Пуассона (1.9) для матрицы Ьп{%) играют
основную роль в гамильтоновой интерпретации этого метода. На этом мы
заканчиваем описание модели Тода.
444
ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
§ 5. Решеточная модель JT--JT как универсальная интегрируемая система с
двумерным вспомогательным пространством
В § II.8 мы убедились, что модель Л-Л является в определенном смысле
универсальной для интегрируемых систем с двумерным фазовым пространством
при фиксированном х, которые допускают представление нулевой кривизны с
двумерным вспомогательным пространством. В частности, модели SG, НШ и МГ
получались из нее различными предельными переходами. Здесь мы введем
решеточный аналог модели Л-Л - модель РЛ-Л - и рассмотрим модели,
получающиеся из нее соответствующими предельными переходами. В частности,
помимо описанных в § 1.2 моделей РМГ и РНШ4, мы получим естественный
решеточный аналог модели SG - модель LSG.
Как мы уже отмечали в § 1.2, при переходе от непрерывных моделей к
решеточным наиболее просто выглядит матрица Ln(k) из представления
нулевой кривизны. Она является более непосредственным обобщением своего
непрерывного аналога - матрицы U(х, к) из вспомогательной линейной
задачи, чем другие объекты: матрица \'п{к) и соответствующие уравнения
движения, пуассонова структура и гамильтониан. Поэтому мы поступим здесь
следующим образом: сначала, исходя из естественных условий, определим
матрицу Ln(k), а затем опишем и саму модель РЛ-Л.
Основное условие на Ln(k) состоит в том, что эта матрица должна
удовлетворять фундаментальным скобкам Пуассона на решетке
{Ln(k)g> Lm(\i)} = [r(k - р), Ln(k)(r) Ln(n)]6nm. (5.1) >
Важная роль этих соотношений была проиллюстрирована выше на примере
модели Тода. В качестве матрицы г (к) мы возьмем r-матрицу модели Л-Л
3
г {к) = - Y 2 Иа (Ц <Уа $ Оа, (5.2)
а=1
где
%(Ь)=р -тх-. "g(k)=p,d~"'"' цз(^)=рсп!.'"*!¦ > (5-3)
sri (A, k) sn (A, k) sn (л, k)
P = ^YJ 3-A, 0<k=YJf-±<l (5.4)
z <*3 - J I
и A </,</, (см. § II.8). Это вполне естественно, поскольку (5.1) можно
интерпретировать как соотношение для скобок Пуассона матрицы перехода на
один узел решетки - на малый интервал
§ 5. РЕШЕТОЧНАЯ МОДЕЛЬ Л - Л 445
А для соответствующей непрерывной модели (с.ч. § III. 1 части I и § 1).
Продолжая эту аналогию, для искомой матрицы Ьп(К) имеем приближенное
выражение
L"(k) = I-Ь J U (х, \) dx + О (Ь2) =
3
= / + - ^ иа (Я) | Sa (х) dx -J- О (A-) (5.5)
г' j
а=1 д
(см. формулу (II.8.2) для U(x,%)). Члены 0(А2) в (5.5) не фиксируются
соответствующей непрерывной моделью. Опыт моделей РМГ и PHLLP,
рассмотренных в § 1.2, показывает, что эти
члены определяются из представления нулевой кривизны. Здесь
мы убедимся, что они однозначно фиксируются и фундаментальными скобками
Пуассона (5.1). Формула (5.5) показывает, что матрицу Ln(X) естественно
искать в следующем виде:
La (Я) =+^/ + - 2 иа{%) П[а%а, (5.6)
а^= 1
где 97а \ а = 0, 1, 2, 3 - новые динамические переменные. В непрерывном
пределе к модели Л-Л они должны иметь асимптотики
ПТ =1+0 (A2), ПТ= AS. (х) + О (А"), (5.7)
где Ап = х, Д->-0 и Si (х) +Sl (х) +Si;(*) = 1.
Замечательно, что фундаментальные скобки Пуассона (5.1) с г-матрицей
(5.2) - (5.3) удовлетворяются для матрицы Ln(K) вида (5.6), если
переменные 9>оП), П>а.п> подчиняются следующим скобкам Пуассона:
+</n)} = JbcHin)Hcn)8n,n (5.8)
и
{ ¦/;, = - HfHcn)6nm. (5.9)
Здесь и ниже набор (а, Ь, с) - циклическая перестановка индексов 1, 2, 3,
и мы положили
Jbc=±(Jc - Jb). (5.10)
4
При выводе (5.8) - (5.9) следует использовать соотношения (11.8.8) и
тождества
иа{Х-ц)ыь(Я)ыЛи)-иь{К-p)wa(?i)Ub(li) =/<йЫс(Я), (5.11)
которые вытекают из теорем сложения для эллиптических функций Якоби. Их
можно проверить и непосредственно, сравнивая
446
ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
полюса по переменной X левой и правой частей и используя теорему
Лиувилля.
Обсудим полученные скобки Пуассона (5.8) - (5.9).
1. Эти скобки Пуассона ультралокальны: переменные 'Т'а* . принадлежащие
разным узлам решетки, находятся в инволюции. Поэтому мы рассмотрим
сначала (5.8) - (5.9) в одном узле (опуская зависимость от п) как скобки
Пуассона на R 4
{Уа, 9',}=ДЛ?'0 (5.12)
{9>а, 9>b}= (5.13)
2. Тождество Якоби для скобок Пуассона (5.8) - (5.9) и
(5.12) - (5.13) гарантируется уравнением (II.8.12), которому
удовлетворяет матрица г(^). Однако его легко проверить и непосредственно,
используя очевидное соотношение
•^12 + 1гз + 731= 0. (5.14)
3. В отличие от скобок Ли - Пуассона, с которыми мы имели дело в случае
моделей МГ и РМГ (см. § 1.1-1.2), скобки Пуассона (5.12) - (5.13)
квадратичны по образующим ^0, 9'i, 9^2,
Они являются в некотором естественном смысле деформацией скобок Пуассона
модели РМГ. В частности, в непрерывном пределе (5.7) они переходят в
скобки Ли - Пуассона для модели МГ.
4. П> гассонова структура (5.12)-(5.13) вырожденна. Ее ан-нулятор
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed