Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
г (г) а (г)
_J_________
a2 (Zj)
где (а (г) =
j '"(l-lr(0|=)f±ffj. (3.27)
/=i i 1 |S|=i I
Построим no этим данным ядра К(п), R(n) и рассмотрим уравнения (3.14),
(3.16). Справедливы следующие утверждения.
Г. У равнения (3.14) и (3.16) однозначно разрешимы в пространствах
/.("+1, оо) и li(-оо, п-1) соответственно. Их решения Х(п, т) и Х(п, т)
быстро убывают при п, т->- +оо и п, т->-
->--оо соответственно.
IF. Правые части формул (3.15) и (3.20) положительны и поэтому можно
выбрать положительные значения для 1+Г(л, п) и 1 + Г (лг, п).
III'. Положим
Г(д, т) = (1+Г(", п))Х(п, tn) (3.28)
и
Г(м, т) = (1+Г(", п))Х(п, т). (3.29)
Построенные по ним с помощью формул (2.37) - (2.38) функции ф±(", z)
удовлетворяют уравнениям
("+1,2) - р<+4р± (п, г) + с<+4± (" - 1, 2) = (z+ -) ф± (п, г),
\ ^ /
(3.30)
§ 3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА И ДИНАМИКА СОЛИТОНОВ 431
где
= 1+ Г (я,Л) с,_) = 1 + Г(п- 1, п- 1) 31)
1 + Г (л - I, п -1) " 1 + ?(п,п)
и положительны, а
("- 1. л) - Г (п, п + 1)
р'+) = -2-^----------------------- - ¦ , (3.32)
1 + Г (п, п) v
c^f ("+ 1, ") - Г (п, п- 1)
Р[п] = -- .------------------ • (3.33)
1 + Г (п, п)
IV'. Имеют место соотношения
Игл с(п±}=1, lim р'*) = 0, (3.34)
л-"±оо п->±сс
где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
V'. Имеют место формулы связи
Яп~Яп~1
Pn) = pin)=Pn, Сп] = Сп]=е 2 , (3.35)
так что
lim qn = 0, lim qn = c, lim pn = 0, (3.36)
rt->-oo |rt|-"oo
где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
VT. Функции a(z) и b(z) = -а ^г-~ ^ являются коэффициен-
Z
тами перехода вспомогательной линейной задачи
Fn+i = Ln(X) Fn, (3.37)
где
Ln(K) = \Pn + X e j . (3.38)
V- е'Чп 0 )
Ее дискретный спектр состоит из собственных значений Xj=Zj +
+ - с коэффициентами перехода 7,= т^(г,), / = 1, .. ., М г/
Мы не будем приводить здесь доказательство этих утверждений, так как, по
существу, оно является прямым переносом рас-суждений из § 11.7 части I на
решеточный случай. Укажем лишь в заключение, что формализм Гельфанда-
Левитана - Марченко позволяет доказать, что если данные обратной задачи
зависят от времени t согласно формулам (2.86) - (2.87), то построенные по
ним pn(t) и qn(t) удовлетворяют уравнениям движения модели Тода.
2. Солитонные решения. Солитонные решения модели Тода отвечают случаю
b(z)= 0 • (3.39)
432 ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
при всех г на окружности |г| = 1. При этом условия на данные {с, г,,
rtij, щ, /= 1, .. . , N} упрощаются и состоят в следующем.
I. Числа г,Ф0 лежат в интервале -1<г,<1 и среди них нет совпадающих.
II. Справедливо условие (с):
N
е~° = Г] г). (3.40)
/= 1
III. Величины mh fn, положительны и связаны соотношением
1
а2 (г/.) где
(3.41)
a (z) = fj sign z; --Zj- . (3.42)
Д гг/-'
Для таких данных уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко (3.14) и
(3.16) сводятся к линейным алгебраическим уравнениям и решаются явно.
Рассмотрим сначала случай N= 1. Ядро К(п) уравнения (3.14) имеет вид
К (п) = mLz* (3.43)
и является одномерным. Полагая
X (п, m) = X (п) mLz^\ (3.44)
из (3.14) получаем
оо
X (п) + z" + X (п) т1 ^ zf=0, (3.45)
i=n+1
так что
Х(п) =-------------^------ , (3.46)
1 +|7i|zrs
1де мы учли, что
Щ = - sign ZjVj (1 - zp = | Vi | (1 - zp. (3.47)
Подставляя (3.44) и (3.46) в (3.15), приходим к выражению
§ 3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА И ДИНАМИКА СОЛИТОНОВ 43В
Теперь из формулы (3.8) получаем
Чп 1 + I Ti I z~n+~
е п= ес----------1----. (3.49)
1+|7,|*Г
(Напомним, что в этом случае e~c = z[.)
Зависимость от времени t вводится при помощи замены у, на fiU):
- (*,- 3-)г
7i (t) = e 21 7i- (3.50)
Полагая
гх = ге~а\ а,>0, е= ±1, (3.51)
для решений qn(t) и pn(t) уравнений движения модели Тода по-
лучаем окончательные выражения
qp (/) = с + щ 1. + _Р i~ 2cCl ((L+ -Lr vil (3.52)
1 + exp i - 2ax (n - vxt -j- n01)}
и
Pn(t) = (3-53)
at
где
sh a, l 1 i i /о r "\
wi = ei L, n0i = -- In 7i - (3-54)
ax 2ax
Решение (3.52) представляет собой волну, распространяющуюся вдоль решетки
со скоростью vu |щ|>1, и положением "01 центра инерции при / = 0.
Согласно общему определению из части 1, ее следует называть солитоном
модели Тода. Солитон характеризуется двумя вещественными параметрами и, и
л01.
Рассмотрим теперь общий случай, когда число N произвольно. Ядро К(п + т)
по-прежнему является вырожденным:
К (я + т) = 2 Ymi А V mi А у (3.55)
/=1
где ^ms>0; решение уравнения (3.14) ищем в виде
N
X (л, яг) = ^ -X/ (п) Ym.j Zj. (3.56)
/=i
Подставляя (3.56) в (3.14), приходим к системе уравнений
М(п)Х(п) = -Y(n), (3.57)
где Х(п) -вектор-столбец с компонентами Х,(л), У (л) -с компонентами
l/m}znj , /=1, ..., N, а Л1(л)-матрица NXN
434
ГЛ. III, ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
с матричными элементами
Vmimi (zizi)n+1
М (л)" = 6" + У ' ---, г, / = 1 N. (3.58)
1 -ziZj
Из (3.56) - (3.57) получаем, что
Х(п, т) = - У'(п)М-1(п)У(т). (3,59)
Подставляя это выражение в (3.15), имеем
-J----------= 1 + уг (П) У (п) + Vх (п) (/И (л) - I) X (л) =
(1 + Г (п, я))2 ' v
= 1 - Yx (л) X (л) = 1 + Ух (л) М"1 (л) У (л). (3.60)
