Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 145

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 180 >> Следующая

решеточной моделью SG.
Отметим, что в то время как на решетке модель LSG и частично анизотропная
модель РМГ, по существу, совпадают, их непрерывные модели весьма далеки,
так как они получаются в результате различных непрерывных пределов.
Список моделей, порождаемых моделью РЛ-Л, отнюдь не исчерпывается
приведенными выше примерами. Мы можем рассматривать высшие аналоги модели
РЛ-Л с гамильтонианами /А, их контракции, а также другие значения
параметров Ja и инвариантов *i?0, Более того, мы можем изменять вид
матрицы ЬпСк) по формуле
Ln(l)*ALn(D, (5.66)
где матрица А(&А коммутирует с r-матрицей. На этом пути можно получить и
модель Тода.
Однако мы выбрали именно модель Тода в качестве основного примера модели
на решетке, поскольку ее исследование технически более просто. В то же
время она вполне удовлетворительно иллюстрирует основные особенности
формализма метода обратной задачи для решеточных моделей.
454
1Л. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
§ 6. Комментарии и литературные указания
1) Полная интегрируемость модели Тода в периодическом случае была
доказана в работах С. В. Манакова ["3.7] и Г. Флашки [3.17-3.18], в
которых использовалось представление Лакса с матрицей 3 вида (2.35):
3?пт~ Сп$п.т+1 Рлбптп Ст$п,т- 1" (6.1)
где би+л-т=бя д'+т = бшп- Функции tr Зк, к~\, ..., N, образуют инволютии-
1
ное семейство на фазовом пространстве модели и при этом Н= - tr З2.
Матрица Ln(X) вида (1.8) была введена в [3.11].
2) Общее решение периодической модели Тода в терминах тэта-функций Римана
было получено в работе [3.6]. Соответствующие канонические переменные
типа действие - угол были введены в [3.19].
3) Вспомогательная линейная задача (2.33) (при N - oo)
3[=Xf (6.2)
и обратная задача для нее исследовались в работах [3.7], [3.17-3.18] (без
обсуждения тонкостей, связанных с краем непрерывного спектра и условием
(с)); см. также монографии [3.3] и [3.12]. В последней приведены и
различные физические приложения модели Тода.
4) При рп = 0 уравнение (6.2) превращается во вспомогательную линейную
задачу для введенной в § 1.2 модели Вольтерра
Cn + lfn + l "Т Cnfn - 1 ~ ^-/п, (6.3)
где сп = }'ип (см. [3.7]). В этом случае коэффициенты перехода а(г) и
Ь(г) удовлетворяют дополнительной инволюции
a(z)=a(-г), b(z)=-b(-г). (6.4)
Уравнение (6.3) представляет собой решеточный аналог одномерного
уравнения Шредингера и в этом качестве исследовалось в работе [3.15].
5) В непрерывном пределе уравнения движения модели Тода переходят в
уравнение нелинейной струны
д2и д2и д2и2 д*и
,,2 = , 2 + -Г + , . 1 (6-5)
dt2 дх2 дх2 дх4
которое также интегрируется методом обратной задачи (см. [3.2]), а
уравнения движения модели Вольтерра - в уравнение КдФ (см. [3.7], [3.3]).
При этом представления нулевой кривизны для решеточных моделей переходят
в соответствующие непрерывные аналоги.
6) Переменные типа действие - угол из § 4 (без учета дополнительных
слагаемых в скобках Пуассона (4.32) - (4.33)) были введены в [3.8] (см.
также [3.16]), где с самого начала использовался гамильтониан й.
7) Интересную задачу представляет собой описание топологии фазового
пространства Мс в терминах переменных р(0), <p(0), pj, qj и
соответствующей алгебры наблюдаемых.
8) Для моделей, у которых непрерывный спектр вспомогательной линейной
задачи имеет край, вопрос о корректном выборе канонических
асимптотических переменных для динамики солитонов (а также и мод
непрерывного спектра) является нетривиальным (сравни с моделью НШ в
случае конечной плотности). Для уравнения КдФ эта задача была решена в
[3.14]. Методы этой работы могут быть, в принципе, применены к моделям
Тода и НШ в случае конечной плотности.
9) Как и в случае моделей НШ и КдФ, для модели Тода можно ввести иерархию
пуассоновых структур, начинающуюся со скобок Пуассона (1.3). Вторая
пуассонова структура для модели Тода была введена в [3.13] и в
§ G. КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
455
терминах переменных р", м"= еп <>п 1 имеет вид
I>Рп' ит} Рп11т $пт (r)п-1,т)'
{Рп' Рщ} utrfin,m+1 ип^п,т-1' (6.6)
(un> um) ипит ((r)я+1,т (r)n-i,m)'
В отличие от пуассоновой структуры (1.3), скобки Пуассона (6.6) допускают
нетривиальную редукцию на подмногообразие р"= 0. Получающаяся пуассонова
структура
(Пи, Пш} = ПпПт (6n+l,m 6n -1 ,т) (6.7)
приводит к уравнениям движения модели Вольтерра
dun
- !>. (6.8) если в качестве гамильтониана взять выражение
я=2""- <6-9>
п
В непрерывном пределе ы"->-1-Аи(х) скобки Пуассона (6.7) переходят в
скобки Пуассона (1.3.15) для модели КдФ.
Скобки Пуассона (1.2.18) для модели Вольтерра получаются из третьей
пуассоновой структуры для модели Тода ограничением на подмногообразие р"
= 0. В непрерывном пределе и"->-1-А2и(х) они переходят во вторую пуас-
сонову структуру для модели КдФ (см. § 111.10 части 1).
10) Модель РЛ-Л и квадратичная алгебра скобок Пуассона были введены Е. К.
Скляниным в работе [3.9]. Исследование этой модели в быстроубывающем
случае было проделано в [3.1], где были описаны и переменные типа
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed