Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Последнюю формулу можно упростить. Заметим, что из (3.58) следует
М(п-1)-М(п) = У (л)Ус(л), (3.61)
или
М(п- 1)АГ-'(п) =/+ У (л) Ут(л)М-*(л). (3,62)
Матрица В(п) = У (л) У* (л) М~1 (л) одномерна и
В2(л)="(л)В(л), а(п) = УЦп)М-1(п)У(п). (3.63)
Сравнивая формулы (3.60) и (3.62) - (3.63), получаем, что
(1 + Г (л, л))2 = -de^} . (3.64)
det М (я - 1)
Вводя зависимость от I посредством формул
Y/(0=e 1 2/J V/. 7=1 W. (3-65)
из (3.64) получаем выражение для N-солитонного решения модели Тода
qn (t) = c+ ln det M {n' t} . (3.66)
w det At (n - 1, /)
Выражение для pn(t), как всегда, дается формулой (3,53).
Как и в рассмотренных ранее примерах, N-солитонное решение описывает
процесс рассеяния N солитонов. Именно, при больших |^| решение qn{t)
представляется в виде следующей суммы односолитонных решений:
?Л(1)=2С'Й + 0И (3-67)
/=1
при t-+ +оо и
9*(0=2 (о + 0(^) (3-68)
/=1
§ 4. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ МОДЕЛИ ТОДА
435
при t-*-с". Здесь a=mina/min|wi-уу|, a q{±!)(t)-солитоны с параметрами ch
где
(3.69)
СI = - In z), Vj = 2 sign Zj
sh - 2
(3.70)
j/+ c. ( 2 lnl
1 - 2i2k
¦П;~
Uk<Vj
2 !n
vk<vi
- 2 1п l~2i2k
°/г>°/ 2i ~ 2k .
1 -2,.2
Гк
Z • - Zi / k
1 - 2izk
,(3.71)
-In 1V/ f> /=1. (3.72)
- 2 in
vk>vj _
Доказательство этих формул основано на вычислениях, по существу
аналогичных приведенным в § II.8 части I.
Как и для модели НШ в случае конечной плотности, Аг-соли-тонное решение
qn(t) с параметром с распадается на солитоны q'rTJ) (t) с различными
параметрами Cj. Таким образом, взаимодействуют лишь солитоны с разными
значениями ct. На соотношение
:2 ' i=i
(3.73)
можно смотреть как на закон сохранения. Интерпретация формул (3.67) -
(3.72) в терминах теории рассеяния аналогична приведенной для
рассмотренных ранее примеров.
Изложение динамики солитонов и результатов по обратной задаче для модели
Тода на этом заканчивается.
§ 4. Полная интегрируемость модели Тода в быстроубывающем случае
Здесь мы рассмотрим отображение 5F с точки зрения канонических
преобразований в фазовом пространстве. Мы убедимся, что как и для модели
НШ в случае конечной плотности, в программе построения канонических
переменных типа действие - угол для модели Тода имеются интересные
особенности, связанные с существованием края у непрерывного спектра
вспомога-
436
ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
тельной линейной задачи. Мы покажем, как они влияют на гамильтонову
интерпретацию теории рассеяния солитонов.
1. Пуассонова структура и алгебра наблюдаемых. Фазовое пространство Мс
модели Тода параметризуется координатами рп, qn, удовлетворяющими
быстроубывающим граничным условиям
lim qn = 0, lim qn - c, lim pn - 0. (4.1)
rw-cc П-Н-oo |rt|-"oo
Пуассонова структура на Jta задается формальными скобками Пуассона
{рп> ртп) qт} 0, (Ртг> qт) бпт- (4-2)
Алгебра наблюдаемых образована допустимыми функционалами F(pn, 9п).
Допустимыми являются функционалы F (рп, qn), которые порождают
гамильтоновы потоки, не выводящие из Жс. В частности, они должны
удовлетворять условиям
lim lim (4.3)
|ПН~ дРп ИИ" дЯп
Простейшим примером недопустимого функционала является величина
Р= 2 Рп, (4-4)
П--оо
возникающая как первый коэффициент при разложении In a{z) в ряд Тейлора
при 2=0 (см. п. 4 § 2). Его роль сводится к одновременному сдвигу всех
координат qn, что нарушает граничные условия (4.1).
Мы имеем следующую аналогию с моделью НШ в случае конечной плотности:
величина с, как и фаза 0, играет роль номера фазового пространства Jtc и
связана с коэффициентами перехода и дискретным спектром условием (с).
Функционал Р аналогичен функционалу N" для модели НШ в случае конечной
плотности. Пример этой модели учит нас, что следует соблюдать
аккуратность при исследовании формальных скобок Пуассона коэффициентов
перехода иа краях непрерывного спектра. Ниже мы будем обращать особое
внимание иа выделение допустимых наблюдаемых из семейства локальных
интегралов движения /п, порождаемого тождествами следов.
2. Скобки Пуассона коэффициентов перехода и дискретного спектра.
Рассмотрим вытекающие из фундаментальных скобок Пуассона (1.9) скобки
Пуассона для матрицы перехода Т (п, m, z)
{Т (п, m,z)(r)T (п, m, z')} =
>
= [r (z, z'), Т (п, т, г) Э Т (п, т, г')], m < п, (4.5)
§ 4. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ МОДЕЛИ ТОДА
437
где
r(z, z')=r(X(z)-X(z')), (4.6)
а г(Х) дается формулой (1.19), и перейдем в них к пределам при rt->- +
oo, m-> ± оо в соответствии с определениями (2.19) и (2.45). В результате
мы получим следующие выражения для скобок Пуассона решений Поста Т±(п, z)
и приведенной матрицы монодромии Т\z):
{Т ± (п, г) 0 Т± (п, z')} = zpr(z, z') T±{n,z)(&T± (n, z') ±
± 70 (n, z) (0 T± (n, z') r± (z, z'), (4.7) {T+(n,z)(r)T_(n,z')}=0, (4.8)
t
{T (z) 0 T (z')} = r+ (z, z') T (z) (r) T (zr) -T{z)(r)T (z') r_ (z, /).
(4.9)
Здесь r± (z, z') =
Z2'Ct(2, 2')
V* p.
(2 - 2') (Z2'- I)
Z2'|i'2, 2')
0 V. p.
(2 - 2') (22' - I) I - 22
" fl , 22' 1) 2 22' 13(2, 2') -
О ±Я( V. p. -;!---------- 0
