Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 136

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 180 >> Следующая

zN. Для вывода соответствующего дисперсионного соотношения рассмотрим
формулу Шварца
f (2) = lm f (0) + -L- Г Re / (Q " > (2-70)
2лг J ? - 2 ?
i;i=i
где f(z) - аналитическая функция в круге |z|^l, и применим ее к функции
N 22--1
/ (г) = In И sign г,- - а (г), (2.71)
1 2 - 2,-
/=I '
где выбрана главная ветвь логарифма. Используя неравенство а{0) >0 и
условие нормировки, получаем, что
N
а (г) = I] Sign2/ -J-^-exp j1 in (1 + 16 (Q |2)
/ = 1 ' ' Ц| = 1
(2.72)
Учитывая инволюцию (2.50), приходим к окончательному выражению для
функции a(z):
ай = ТТ sign^i-^xpja-jlnd +IM9B<g).
/=1 1 с
(2.73)
где С - полуокружность |?| =1, O^arg^^n.
Данные b(z), zs и с не являются независимыми. Во-первых, из формулы
(2.52) следует, что
е"Ф - И 12/1 ехР {^7 [ in (1 + I ^ (?) |2) "} • (2.74)
/=1 С S
Это соотношение будем называть условием (с). Во-вторых, в ситуации общего
положения, когда в окрестности 2= ± 1
6(2) = -^-+0(1), (2.75)
2 Ч- 1
имеем условия
/V
sign b± = г| (+: sign2/) (2.76)
/= 1
(сравни с условием (0) и условиями выбора знаков в § 1.9 части I).
Для вывода (2.76) рассмотрим асимптотики a(z) при z->- ±1, |z|<l,
используя дисперсионное соотношение (2.73). Главный
424
ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
вклад в (2.73) дает сингулярное слагаемое (2.75), и он имеет вид
2я1
f, = -L fta-L
2я1 J I t
1 - г2
dt
1ST I I* (I-zS)(S-2) S
(2.77)
где C+ - малые окрестности точек ? = ± 1 на С. Имеем
In
1 ь+\ | g +11 е-z* dt
2 |S- I| (I-zS)(S-z) s
+ 0(|z-l|) =
In
ISI=i
1
z dt
2 ?-1 = In I -
S-z s
I b+ I z -f- 1 2 2-1
f 0(|Z-1|):
+ 0(|z-l|), (2.78)
где в последнем равенстве мы использовали формулу Шварца. Отсюда получаем
при z->-1
N
\Ь+\Ц (- sign Zj)
а(г) = j + 0(1), (2.79)
и сравнивая эту формулу с (2.57), приходим к условию (2.76) для знака +.
Вторая формула в (2.76) доказывается аналогично.
Подчеркнем, что как и для модели НШ в случае конечной плотности,
усложнение аналитических свойств коэффициентов перехода связано с тем,
что непрерывный спектр вспомогательной линейной задачи имеет край: точки
Л= ±2.
Описание отображения S''. (р", qn)>-+(b(z), b(z), zjt /= = 1, . . . N) от
начальных данных модели Тода к характеристикам вспомогательной линейной
задачи (2.1) на этом заканчивается.
3. Временная динамика коэффициентов перехода. Рассмотрим эволюцию
коэффициентов перехода, когда pn(t) и qn(t) удовлетворяют уравнениям
движения модели Тода. Используя представление нулевой кривизны (см. §
1.2), получаем
2. ЛИНЕПНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ ТОДА
425
Переходя в (2.80) к пределам при п-*-оо, -оо в соответствии
с определениями (2.19), (2.45) и используя формулу
lim (Е{п ] (г))'1 Vn (z) E{Z] (z) = lim (E{n} (z))~l L, (г) Elr} (г) -- V
(г),
1^X00 П'^ЛОО
(2.82)
Они приводят к следующей явной зависимости коэффициентов перехода от
времени t:
Как и в рассмотренных ранее примерах, коэффициент а (г) является
производящей функцией интегралов движения. Закончим этот параграф
описанием семейства локальных интегралов движения. Под последними мы
понимаем функционалы вида
где /п является полиномом от рп, сп и их высших разностей.
4. Локальные интегралы движения. Убедимся, что разложение функции In а
(г) в ряд Тейлора в точке 2=0
дает серию локальных интегралов движения модели Тода, содержащую ее
гамильтониан. В рассмотренных ранее примерах непрерывных моделей мы
использовали асимптотические разложения In а(Х) в окрестностях точек Х =
оо или К, = 0, в которых коэффициент Ь(Х) быстро убывал. Это позволяло
нам начинать с асимптотического разложения матрицы перехода Т(х, у, X) и
за-
где
получаем эволюционные уравнения для решений Поста
dT+ (п, г)
------------= Vn (г) Т± (л, 2) - 7V (п, z) V (z)
(2.84)
и приведенной матрицы монодромии
(2.86)
2/ (0 = 2/(0), у/(0 = е
7/(0). / = 1. .... N. (2.87)
оо
р= 2 /-
(2.88)
оо
lna(z) = - j + ^ Jnzn
(2.89)
426 ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
тем переходить к пределам при х-"- +оо, г/-> оо. В случае модели Тода
коэффициент b (z), вообще говоря, не определен в окрестности 2=0, и
поэтому этот способ неприменим. Мы дадим здесь другую процедуру
вычисления коэффициентов /", непосредственно основанную на рассмотрении
вспомогательной линейной задачи (2.33) для быстроубывающего случая.
Рассмотрим формулу (2,60) при |z|<l и перейдем в ней к пределу п-*- + оо.
Учитывая (2.36), получим
a(z)~--- lim (гп-1(р(п,г) - znq> (п - 1, z)), (2.90)
1 - Z2 П-Н- ОО
где мы положили ф(п, г)=ф_(/г, 1 /г). При малых z функцию Ф (п, z) можно
представить в виде
Ф (п,г) = 2гп П 7 (к' г)- - . (2.91)
4=-" ck
Подставляя это представление в (2.90) и используя формулы
(2.2) и (2.34), получаем, что
а{г)=-±~Пт (± Ц ЪШ--г П
1 - га-м- оо \ 2 Си Си I
\ k=-oo К k-~oo к /
= Ч ^ЬЛ = е^ Ц X(n,z). (2.92)
сп
п= -ос п п-= ~ оо
Дадим теперь процедуру определения коэффициентов %(л, z). Подставляя
(2.91) в (2.33), получаем уравнение
X (п, г) (X (п + 1, z) - 1 - zpn - Z1) = - z4\, (2.93)
которое допускает решение вида
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed