Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
с"Г(л-1, л)- р"(1 + Г(л, л)) =Г(л, л+ 1) (2.41)
и
Г (л, т + 1) + Г (л, т - 1) = сп+1 (Ьт.пЛ +
4- Г (л + 1, т)) - рпГ (л, т) 4- с"Г (л - 1, т) (2.42)
при лг>л.
420 гл- IIL ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
В классе ядер Г (л, т), удовлетворяющих условию (2.39), система (2.40) -
(2.42) однозначно разрешима. Действительно, уравнение (2.40) позволяет
найти значения Г(л, п), а уравнение (2.41)-значения Г(л, л+1) при всех п,
так что уравнение
(2.42)-уравнение в частных разностях второго порядка - однозначно
разрешимо в области т>п. При этом предельные значения в (2.39)
принимаются в смысле Шварца. Таким образом, существование решения ф+(л,
z) доказано.
Существование решения ф-.(л, z) доказывается аналогично. В терминах
г|:±(n,z) решения Поста T+(n,z) имеют вид
Г,(",г) = й['**к1'!| ) (2.43)
^4)+ (п - 1, 1/2) - 24|)± (п - 1, 2) J
и очевидно удовлетворяют сформулированным выше свойствам.
2. Приведенная матрица монодромии и коэффициенты перехода. Приведенная
матрица монодромии Т(z) при | z\ = 1, гф ± 1, определяется как отношение
решений Поста
Г(г)=Г;1(л,г)Г_(л,г) (2.44)
и может быть представлена в виде предела
Т (г) = lim Е'п (г) Q_1 (с) Т (п, tn,z)Em (г). (2.45)
гг->зо т-*-оо
Матрица T(z) унимодулярна, удовлетворяет инволюциям
T(z)=aiT(z)ai, (2.46)
T(z) = T(z) (2.47)
и представляется в виде
Т (z) = la (z) , (2.48)
\Ь (г) a (z)j
где a(z) и b(z) -коэффициенты перехода непрерывного спектра. Они
определены при |z|=l, гф ± 1, и удовлетворяют условиям нормировки
\a{z) |2- \b{z) |2=1 (2.49)
и симметрии
a(z) = a(z), b(z) = b(z). (2.50)
Для коэффициента a(z) имеем представление
a (z) = -L- det (Т{У (п, z), Т{? (п, г)), (2.51)
I - 2Z
показывающее, что он допускает аналитическое продолжение в единичный круг
|г|<1 и
а(0) =е-с/2. (2.52)
§ 2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ ТОДА 421
Аналогичное представление для коэффициента b(z)
Ь (г) = r~det (ТУ (п, г), ТУ (ft, г)) (2.53)
показывает, что он, вообще говоря, не продолжается с окружности \z\ = 1.
Такое продолжение возможно, если существует N>0 такое, что с"= 1, р" = 0
при | /г | > А/.
Обсудим теперь возможное поведение функций a(z) и b(z) в окрестностях
точек 2= ±1. В случае, если столбцы Т'У (п, z) и Т+} (ft, z) линейно
независимы при 2=1 или 2=-1, то коэффициент a(z) сингулярен и
представляется в виде
0(2)=-%-+ 0( 1), (2.54)
Z -hi
где а± отличны от нуля и вещественны (сравни с моделью НШ в случае
конечной плотности в § 1.9 части I). Именно это реализуется в ситуации
общего положения. В специальной ситуации, когда столбцы ТУ (п, z) и
Т[+'(п, z) становятся линейно зависимыми при 2=1 или 2=-1, коэффициенты
а+, или а_, или оба исчезают и функция a(z) несингулярна в окрестности
соответствующих точек. В этом случае 2=1, или 2= -1, или оба значения
являются виртуальными уровнями. Они расположены на
краях ±2 непрерывного спектра вспомогательной линейной
задачи.
Коэффициент b(z) сингулярен или регулярен в окрестности 2= ± 1
одновременно с a(z). Действительно, имеем
ту (п, z) |2=±1 =. тУ (ft, z) |2=±1, (2.55)
так что если а+ или а_ отличны от нуля, то
6(2) = т-^_ + 0(1). (2.56)
Z I
В частности, при этом условии
Нш*-Ф = =р1 (2.57)
2-±i а (г)
(сравни с соответствующими формулами в §1.9 части I).
В силу условия нормировки нули коэффициента a(z) могут лежать только
внутри окружности |г| = 1 и их число N конечно. Если a(Zj) =0, то
ТУ (ft, г,) = у,Т'У (ft, г,), у, Ф 0, (2 58)
и
Ф. [п, 7") = - 2/У/Ф+ ("" 2/), j=\, (2.59)
422 ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
Таким образом, A.j-=z3-+1/Zj являются дискретными собственными значениями
самосопряженного оператора S и поэтому Xjt а вместе с ними zh
вещественны, -I<z3-<1; 0, /= 1, .. ., N. Со-
ответствующие им коэффициенты перехода дискретного спектра Yj также
вещественны.
Покажем, что нули г, простые. Из (2.43) имеем
a(z) = - (ф+ (п, z) ф_ (п - 1, 1/г) - ф+ (п - 1, г) ф_ (п, 1/г)).
I - zz
(2.60)
Дифференцируя это равенство по z и полагая г = гл получаем
a(zi) = (4+ (" - 1, г/) ф_ (л, 1 /г/) - ф+ (л, г;-) фу (л - 1,
1/2/) -
1 - 2/
- 2/2ф+ (Л - 1, 2/) ф_ (Л, 1/2/) +2/2 ф+ (Л, Z/) фу (Л - 1, 1/2/)), (2.6
1)
где точка обозначает производную по г. Из уравнений (2.33) и
Cn+i/n+i - Pnfn + cnfn..i = |г -(- --'j fn + ^1------ j fn (2.62)
получаем, что величины Ф+ (л, г) = сп (Ф+ (л, г) фу (л - 1, 1/г) - ф+ (л
- 1, г) ф_ (л, 1/г)) (2.63)
и
Ф_ (я. г)=-с"г'2(ф+(/г, г) фу (л - 1, 1/г) - ф+ (л - 1, г)ф_ (л, 1/г))
(2.64) удовлетворяют уравнениям
Ф±(л+ 1, z) =ф±(л, z) ± (1 - Г/г2)ф+(/г, г)ф_(л, 1/z). (2.65)
Полагая здесь и используя (2.59), получаем
Ф+ (л, 2/) = Т/(г/~1}- 2 Ф; (k, Zj) (2.66)
zi k-n
и
ф__ (л, г,) = -- 2 'i +(*"гд (2-67)
zi
так что
a(zj) = y; 2 'P; ("> г/)(2-68)
Это равенство также показывает, что
sign Yj = sign a (z3-), f=l,...,N (2.69)
(сравни с соответствующими рассуждениями в § 1.9 части I).
§ 2. линейная задача для модели тода 423
Функция a(z) однозначно определяется по коэффициенту b(z) и нулям z" ...,
