Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 137

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 180 >> Следующая

оо
X (п, г) = 2 г (п> т) г"!> (2-94^
т=0
где
г{п, 0) = i, г{п, \) = рп-х, (2-95)
Х(п, 2)=1-^ (2.96)
и для т>2
т-1
Х(п, т) = с?п_1%(п- 1, т -2) - ^ Х(", k)x(n - 1, m - k).(2.97)
А'=3
Формулы (2.92) и (2.94) - (2.97) позволяют выразить функционалы /т через
рп и сп¦ В частности, имеем
/^=2 Рп (2-98)
§ 3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА И ДИНАМИКА СОЧИ ГОНОВ
427
и
оо
/2 = -Я = -
2 [}Рп + сп~ !)• (2.99)
С помощью дисперсионного соотношения (2.73) функционалы /" выражаются
через коэффициенты перехода и дискретный спектр вспомогательной линейной
задачи. Соответствующие тождества следов имеют вид
В § 4 мы обсудим вопрос о принадлежности функционалов 1п к алгебре
наблюдаемых на фазовом пространстве нашей модели.
Исследование вспомогательной линейной задачи и отображения для модели
Тода на этом заканчивается.
§ 3. Обратная задача и динамика солитонов
модели Тода в быстроубывающем случае
Здесь мы опишем отображение 9Г~\ т. е. дадим решение обратной задачи о
восстановлении рп и qn по коэффициентам перехода и дискретному спектру.
Как и ранее, мы можем использовать два подхода: матричную задачу Римана
или формализм Гельфанда - Левитана - Марченко. Наличие краев у
непрерывного спектра вспомогательной линейной задачи и, как следствие,
ограничения на коэффициенты перехода и дискретный спектр (условие (с) и
т. д.), приводят к усложнению первого подхода (сравни с моделью НШ в
случае конечной плотности в § II.6 части I). Поэтому мы рассмотрим только
формализм Гельфанда- Левитана - Марченко. С его помощью в конце этого
параграфа мы опишем динамику солитонов модели Тода.
1. Формализм Гельфанда - Левитана - Марченко. В его основе лежит
формула связи решений Поста при \z\ =1
которая в терминах ф±(я, г) переписывается следующим образом:
С
.V
+ 7 2 (z/,-27n). "= 1.2,... (2.100)
Т-(п, z)=T+(n, z)T(z),
(3.1)
В
-7Г4'+ (", г) = (п, г) + 7 (z)T(п, -) , (3,3)
а {г) \ 2 J
428
ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
где
r(z) = -zA" 7(z)=^L (3.4)
a (z) га (г)
Рассмотрим для определенности уравнение (3.2) и совершим следующие
преобразования: подставим в него представления
(2.37) - (2.38), умножим на --zm~\ т^п, и проинтегрируем по
окружности |z|=l. Используя формулы (2.52), (2.59) и формулу Коши,
получаем соотношение
оо
&п,т "Ь Г (ti, tti) -f- К {п "Ь м) "Ь 2 ^ 0 ^ (^ т) =
1=11
= ес!-Ъп,т (1 + г (п, ti)), (3.5)
где
К(п)=-±~т Г r(z)z^ - + yj m,z* (3.6)
I4=i /=1
т, = } =-------1------N (3.7)
a (Zj)
и точка обозначает производную по z.
В отличие от рассмотренных ранее примеров непрерывных моделей, в
уравнении (3.5) появился дополнительный член в правой части, порожденный
вычетом функции-- ф-(", z)zm~l при
а (г)
z = 0. Его можно следующим образом выразить через Г(", п). Рассмотрим
уравнение (2.40): из (2.1), (2.34) и условия (2.39) получаем, что
' 1 + Г (п, п) = е ¦ (3.8)
Из аналогичного уравнения для Г(", п)
с"+1(1 + Г(л+1, "+1)) = 1 + Г(/г, ti) (3.9)
следует, что
1 + Г {п,п)=е~чпп, (3.10)
поэтому
ес/2(1 + Г(", ")) = (1 +Г(", п))~\ (3.11)
В результате (3.5) принимает вид
-т)+ %Г(п,1)К(,1 +
1=П
(3.12)
6 оо
6ntm -f- Г (п, tri) -j- К (п -f- т) -f- ^ Г (п, I) К (I -f- tti).
l+г (я, я)
/=/1
К сожалению, это уравнение для Г(", т) нелинейно.
§ 3, ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА И ДИНАМИКА СОЛИТОНОВ 429
Чтобы свести (3.12) к линейному уравнению, положим
X(/г, т) = . , т> п, (3.13)
1+ Г (п, п)
и умножим (3.12) на (1 + Г(/г, /г))-1. При т>п получаем линейное
уравнение
ОО
X (п, т) + К (п + т) + 2 ^ (п' О X (/ + т) = 0, (3.14)
1=пн
а при т = п - соотношение
--f-- = l+K(2n)+ V X {п, I) К (1 + п). (3.15)
(1 + Г (п, п))г ^
' /=П+1
Уравнение (3.14) и представляет собой искомое уравнение Гель-фанда -
Левитана - Марченко для правого конца, а соотношение (3.15) позволяет
определить Г (п, п) по заданному Х(п, т).
Аналогичным образом из уравнения (3.3) получаем уравнение Гельфанда -
Левитана - Марченко для левого конца:
П-1
X (п, ш) + К (п + пг)+ ^ X (п, I) К(1 + ш) = 0, "> пг, (3.16)
l-^ - эо
где
N
X (") = ~ Г ~ (г) г п - + 2 п-\ (3.17)
2,211 J 2
iZi=i /==1
1
У,-а (г;)
m.r-=-J----------Г/ = 1 X, (3.18)
X (п, гп)=-?(п: , (3.19)
, 1 + Г (п, п)
и соотношение
(1 + Г (п, п))
1 =1 + X(2")+ j X (п, t)K(l + п). (3.20)
/=- оо
Опишем теперь процедуру решения обратной задачи.
Исходными данными являются функции r(z), r(z) и набор вещественных чисел
ти Mj, zjt /=1 X; с, обладающие следующими свойствами.
I. Гладкие на окружности |z| = l функции r(z), r(z) удовлетворяют
инволюции
r(z)=r(z), r(z)=r(z) (3.21)
430 ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
и условию
|г(2)| = |г(2)|<1, (3.22)
причем знак равенства может достигаться лишь в точках z= = ± 1, и тогда
r(±l) = - г (± 1) = 1. (3.23)
II. Попарно неравные числа z^O лежат в интервале -1< <Zj<l, а числа пц и
щ положительны, j= 1 N.
III. Справедливо условие (с)
IZ/lexpj^j- j" in(l-|r(?)|a)-f-l. (3.24)
/=1 I Л |?[=i Ь >
IV. Имеют место формулы связи
7 (г) _ а (г)
(3.25)
mjtnj = ^-, / = 1, .... Лг, (3 26)
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed