Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
справедливо при больших рп и вследствие полиномиальности имеет место во
всем фазовом пространстве Л, за исключением алгебраического
подмногообразия (в координатах рп, еЧп) размерности, меньшей N.
416 ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
Для явного описания канонических переменных типа действие- угол требуется
привлечение методов алгебраической геометрии, которые мы в этой книге не
рассматриваем.
§ 2. Вспомогательная линейная задача для модели Тода в быстроубывающем
случае
Здесь мы введем основные характеристики вспомогательной линейной задачи
Fn+l=Ln(K)Fn (2.1)
в быстроубывающем случае-
lim qn = 0, lim qn - c, lim pn - 0. (2.2)
П-*-эс П-*+ oo |л|->oc
Мы предполагаем, что предельные значения в (2.2) принимаются достаточно
быстро; величины qn, qn-с, рп и их разности всех порядков убывают при |".
| -s-oo быстрее любой степени |д|-1 (аналог условий Шварца на решетке).
1. Матрица перехода и решения Йоста. Матрица перехода Т(;г, m, Я)
определяется как решение уравнения (2.1) с начальным условием
Т (П, ГП, Я) | n=m=I (2.3)
и при /г>т имеет вид
Л~~\
Т (п, т, Я)= J] Lk (к); (2.4)
k=m
при п<т
т-1
Т (п, гп, Я) = Г-1 (гп, /г, Я) = 17 Ц1 (Я). (2.5)
k=n
Матрица Т(п,т,Х) унимодулярна, является полиномом по 2. степени |п-т\ и
удовлетворяет инволюции
Т(п,т,Х)-Т(п,т,1). (2.6)
При п-+±оо вспомогательная линейная задача (2.1) упрощается и принимает
вид
En+l=L±(X)En, (2.7)
где
МЯ) = ?(Я) = (_^ *), (2.8)
L+(l) = Q(c)L(X) (с). (2.9)
§ 2. линейная задача для модели тода
417
При \ф2 матрица L(K) приводится к диагональному виду
L(X) = U(K) (2.10)
где
U(K)=*( 1 (2.11)
1-2 (К) 1 /
a z(K) определяется из уравнения
и дается формулой
г + - =К (2.12)
Z
= + . (2.13)
Функция z(k) аналогична k(k) для модели НШ в случае конечной плотности
(см. § 1.8 части I) и определена на римано-вой поверхности функции У^2-4.
Часто удобно использовать переменную 2 вместо спектрального параметра в
этом случае для функции F(X) мы не меняем функционального значка и через
F (z) обозначаем F(k(z)).
Решения уравнений (2.7) даются формулами
ft)(z)=En(z) = U(z)[z~n 0>| (2.14)
\ 0 гп )
и
EV(z) = Q{c)En(z). (2.15)
Матрица En(z) удовлетворяет инволюциям
Ё"{г) = Е"(г), (2-16)
En(-jj = -jEn(z)o1 (2.17)
и соотношению
det?"(2) = l-z2. (2.18)
На окружности |z| = l матричные элементы En(z) ограничены при всех п, что
соответствует непрерывному спектру вспомогательной линейной задачи (2.7).
В терминах переменной К непрерывный спектр заполняет отрезок -2=^Л=^2.
Матрица En(z) вырождается при 2=±1, так что у задачи (2.7) на краях
спектра имеются виртуальные уровни (сравни с § 1.8-1.9 части I).
Внутренность и внешность единичного круга в переменной 2
играют роль, аналогичную верхней и нижней полуплоскостям
переменной k(K) для модели НШ в случае конечной плотности.
418 ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
Свойства аналитичности матрицы En(z) аналогичны таковым для матрицы Ер(х,
k) из § 1.8 части I.
Решения Поста T±(n,z) при |г|=1 определяются как пределы
T±(n,z)= lim Т (п, m,z)Eim) (z). (2.19)
m-*-rtoo
Альтернативно их можно задать как решения задачи (2.1) со следующими
асимптотиками:
Т±(п,г) = Е{?\г) + о{ 1) (2.20)
при Л-"-±0О.
.Матрицы T±(n,z) при jz| = l удовлетворяют инволюциям
Т±(п, z) = T±,(n,~z), (2.21)
Т± (п, z)=------Т± (п, z) ofj (2.22)
2
и соотношению
det Т±(п, z) = l-z2. (2.23)
Они обладают следующими аналитическими свойствами: столбцы Т-] (п, z)
и Т{+ (п, z) аналитически продолжаются во внутренность
единичного круга |z|=^l, а столбцы Т+] (п, z) и Т{1 (п, z) -
во внешность \г\>1 и имеют там асимптотики
пТМ(п, 2)=(' ггДГ (щ z) = f ^/2) + 0(|г|), (2.25)
^'(М)= ! } + 0(\z\), (2.24)
1
е
при z-уО и
г'Т*? (п, z) = - er*E-z ( 0 ) + О (1), (2.26)
U/ М>1,
ггИН г) = - г{ 1 ] + 0(1), (2.27)
при IZ [ ->-00.
Для доказательства существования решений Йоста и исследования их свойств
удобно совершить калибровочное преобразование
Fn=QnFn, (2.28)
где
НС ПС (2-И)
при котором вспомогательная линейная задача (2.1) принимает вид
Fn+t=Ln(X)Fn, (2.30)
§ 2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛИ ТОДА
419
где
/ Qnrltn-i
Zn(X) = o;)lM^gn= 1 (Р" + Х) -г ^ . (2.31)
Полагая
(2-32)
отсюда получаем, что gn+l=fn п
Cn+lfn+l Pnfn 4 Cnfn~l TfП) (2.33)
где
Чп~1п-1
сп~е 2 . (2.34)
Таким образом, вспомогательная линейная задача (2.1) эквивалентна задаче
на собственные значения (2.33) для бесконечной якобиевой матрицы <24
ЗТnm ^n^n, m + 1 Рп^пт~Т ^?г+1^п+1, тп* (2.35)
Покажем, что эта задача при |z| = l имеет решения ty±(n, z) со следующими
асимптотиками:
4+(л, z)=z" + o(l) (2.36)
при п-*-±оо (напомним, что %=z+\/z). Будем искать эти решения в виде
ос
4+ (п, z) = zn + 2 Г (л, m) zm , (2.37)
т-п
п
4 (л, г) = 2п4- 2 Г (n,m)zm, (2.38)
ТП--00
где
lim Т(п,т) = Пт Г (л, т) - 0. (2.39)
п,т->эо п,т~>- оо
Рассмотрим, для определенности, представление (2.37) и
подставим его в уравнение (2.33). Отделяя члены при одинаковых степенях
2, мы получим, что
с"(1 + Г(л-1, л-1)) = 14Г(л, л), (2.40)
