Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 143

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 180 >> Следующая

порождается двумя полиномами
= (5-15)
а=1
U
= (5.16)
а=1
Уравнения
^о = с0, = (5.17)
где с0 и с, вещественны, выделяют симплектическое подмногообразие Г=Г(/",
с", cj в К4.
5. Многообразие Г, вообще говоря, несвязно. При условии
С1> "Г со (5-18)
4
Г гомеоморфно несвязному объединению двух сфер S2. Дополнительное условие
^">0 отбирает одну из них; соответствующее фазовое пространство будем
обозначать через Г0. В случае
-^-c0<Cl<-^c0 (5.19)
4 4
§ 5. РЕШЕТОЧНАЯ МОДЕЛЬ Л - Л 447
многообразие Г по-прежнему гомеоморфно объединению двух
сфер. Однако при -^с0<с1<; - с0 оно уже связно и гомео-
4 . 4
морфно тору P=S1XS1. (Фазовое пространство такого типа нам встретится
ниже при описании модели LSG.) При условии
ct< -с0 уравнения (5.17) не имеют решений в [R4.
6. Вернемся к скобкам Пуассона (5.8) - (5.9) на решетке.
ГС)4 W ГП!
Они естественно заданы на произведении > • • * 'где N -
N
число узлов решетки. В качестве фазового пространства Ж модели РЛ-Л мы
возьмем произведение фазовых пространств Г0, считая, что с0 и с, не
зависят от номера п. (Последнее означает пространственную однородность
модели.) В непрерывном пределе при условии
с0=Д2, с,= 1 (5.20)
фазовое пространство Ж переходит в фазовое пространство модели Л-Л.
Итак, мы определили фазовое пространство Ж модели РЛ-Л и матрицу Ьп{}.)
из соответствующей вспомогательной линейной задачи
Fn+l = Ln(VFn. (5.21)
С последней связана матрица монодромии TN{K),
N
TN(k)= П L"(k), (5.22)
П= 1
скобки Пуассона для которой имеют тот же вид, что и для матриц Ь"(Ъ):
{TN (I) <g) TN (р)} = [г (К - р), TN (Р) <g) TN (р)]. (5.23)
i
Отсюда следует, что функции
Ря{К)=ЬТя{к) (5.24)
порождают на Ж инволютивное семейство наблюдаемых:
{Fn(а), Л"(ц)}=0. (5.25)
Выбор семейства (5.24) соответствует периодическим граничным условиям
= о = 0, 1,2, 3. (5.26)
Покажем, что в этом семействе содержатся локальные наблюдаемые, которые
представляются в виде суммы по узлам
448
ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
решетки
Gk= S?(sr, •••> &"'*'), (5-27)
Я- I
где k<N. Будем говорить, что Gh описывает взаимодействие k+ \ ближайших
соседей на решетке. В частности, гамильтониан Н будет описывать
взаимодействие двух ближайших соседей.
Для его определения мы поступим следующим образом. Заметим, что выражение
(5.24) для FN(X) упрощается, если Я=А0, где Я0 - значение, при котором
матрица Ln(L) вырождается. Действительно, из представления
Ln(l0) = an%, (5.28)
где а" и [}" - векторы-столбцы, а т означает транспонирование, следует,
что
N
Fn{\) = Tj ^п+1ап, Pa+i = Pi, (5.29)
rt=l
и, таким образом, 1пДД?ч,)-локальная наблюдаемая, описывающая
взаимодействие двух ближайших соседей. К сожалению, эта величина, вообще
говоря, комплексна. Для построения вещественнозначной наблюдаемой следует
использовать две инволюции, которым удовлетворяет матрица Ln(?t):
Ln (Я) = cr2L" (X) ст, (5.30)
и
Ln (- Ц = cr2Ln (X) cr2 (5-31)
(они непосредственно следуют из определений (5.3) и (5.6)). Первая из них
означает, что FN(L) =FN(L), так что
Д=1п'^12. (5.32)
также принадлежит инволютивному семейству, порожденному FK{X). Вторая
инволюция позволяет вычислить величину Н явно. Действительно, из
уравнения
det Ln (7-q) = Cj + c0 (u\ (7,0) -f- Jj/4) - 0 (5.33)
и условия (5.18) следует, что Х0 можно выбрать чисто мнимым, что приводит
к представлению
Ln (7.q) = Ln (- Я0) = (5.34)
поэтому N
Fn {К) = ^А' (- ^о) =¦• П" ахги $п, &N+1 = аг. (5.35)
§ 5. РЕШЕТОЧНАЯ МОДЕЛЬ Л - Л
449
Отсюда получаем
Я=":2 lnP^ia--+^'г=. 2 Inh(^\ Л^1), (5.36)
J Я=1 2 n= 1
где
h (?%', +1)) = | tr Ln+1 (K) U (K) =
: =^T1] + 2 (
a=i \
При выводе последнего равенства следует использовать формулы (5.6),
(5.15) - (5.17) и (5.33). , . ,
Величину Н мы и возьмем в качестве гамильтониана для модели РЛ-Л.
Порождаемые им уравнения движения
исрп)
-^-={Я,^ГЬ 0 = 0, 1,2,3, (5.38)
at
не слишком поучительны, и мы не будем здесь их явно выписывать, Вместо
этого обсудим их общие свойства.
1) В непрерывном пределе (5.7) при условиях (5.20) гамильтониан Н
переходит в гамильтониан модели Л-Л из § 1.1:
- 2Я + 2АЧп 2 = A j' ) - / (S) j dx + О (Л2) (5.39)
и из уравнений (5.38) получаем уравнение Л-Л.
2) Модель РЛ-Л является вполне интегрируемой гамильтоновой системой.
Действительно, семейство из N-1 независимых, инволютивных интегралов
движения, содержащее гамильтониан Н, можно построить следующим образом:
Д = k = 0, ... , N-2: (5.40)
Величины /" локальны и описывают взаимодействие k + 2 ближайших соседей.
Недостающий интеграл движения можно выбрать в виде arg/V(A,0).
3) У равнения движения (5.38) представляются в виде условия нулевой
кривизны
% (I) = Vn+г (X) Ln (Я) - Ln (X) Vn(X). (5.41)
at
Действительно, действуя совершенно аналогично рассуждениям в § III.3
части I, получаем соотношение
(In/ду (р.), Ln (Я) }= V"+i (/,, p)L"(/,) L"(X) Vn(X, p), (5.42)
^ + (5.37)
Co 4 j
450
ГЛ. 1П. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ АЮДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
где
Vn (I, у) = F trx Ц П Lk (и-) (r) 1J г (Iх - ^П Lk 1
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed