Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
изложение, если рассмотреть прямое произведение алгебр С(д) по всем х.
Более формально, следует использовать алгебру токов ^((g)) рядов Лорана
|(Я, х) с коэффициентами, зависящими от х и удовлетворяющими определенным
граничным условиям (например, периодическим или быстроубывающим). Она
порождается генераторами Хак(х) с коммутатором
1Ха,н (х), Хь,1 т = СаьХсш (X) б (X - у). (1.34)
Повторяя приведенные выше рассуждения применительно к алгебре (r)Ч(й')), мы
приходим к скобкам Ли - Пуассона на фазовом пространстве ^'((й))
{U (х, I) 0 U (у, р)} = [г (К - р), U (х, К) 0 / + / 0 U (х, р)] б (х -т
у),
(1.35)
которые по своей форме полностью совпадают с фундаментальными скобками
Пуассона для непрерывных моделей.
Тем не менее, содержание формул (1.35) и, скажем, (II.3.8) все еше
различно. Так, в последней формуле мы имеем дело с конкретной матрицей
U(х, X) во вспомогательном пространстве, являющейся рациональной функцией
спектрального параметра X, в то время как в (1.35) участвует формальный
ряд Лорана с коэффициентами в заданной алгебре Ли й- Согласование состоит
в том, что фундаментальные скобки Пуассона для конкретных моделей
представляют собой реализацию скобок Пуассона
(1.35) для конкретного матричного представления данной алгебры Ли й
(причем пространство представления играет роль вспомогательного
пространства), ограниченную на орбиту соответствующей алгебры ^((й)) в
фазовом пространстве &*(($)). Здесь мы называем для краткости орбитами
алгебры Ли упомянутые выше интегральные многообразия для распределений,
порожденных коприсоединенным действием. Эти орбиты представляют собой
произведение по переменной х орбит коприсоединен-ного действия алгебры Ли
Св(й) в С*(й)- Условие пространственной однородности требует, чтобы эти
орбиты при каждом х совпадали. Поэтому ниже мы опять будем опускать
зависимость от переменной х.
462
ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД
Для приложения к интегрируемым моделям наибольший интерес представляют
конечномерные орбиты алгебры Ли С0(д). (Отметим, что в ситуации общего
положения орбиты бесконечномерны.) Для их описания удобно ввести
конечномерные пуас-соновы подмногообразия в С*(д), накладывая на
координаты (или на их производящие функции иа(Х), U(X)) ограничения,
инвариантные относительно пуассонова действия алгебры Ли С0(д).
Простейшим примером такого пуассонова подмногообразия, очевидно, является
линейное подпространство С^.м в С*(д), определяемое уравнениями
Ua,k = 0 (1.36)
при k~^N и /г^-М-1, где N, 0. Действие алгебры С0(д) на подпространстве
Сы,м редуцируется до действия конечномерной алгебры Ли CN."(д) с
генераторами Xafi, -M^.k<iN, и коммутатором
( CCabXc,kH при k, l^zO, k + I < N,
{Xa.k, ХьЛ = _ Ccabxc,kyl при k, I < 0, -M -ick + l, о -37)
v 0 в остальных случаях.
Орбиты этой алгебры вСм,м и образуют искомые фазовые пространства,
отвечающие интегрируемым моделям. Более конкретно, координаты в Сд-,м
даются набором uah, k = -М, ..., N-1; их скобки Ли - Пуассона имеют вид
[ - ССаьис,к+1 при k, I > 0, k + I 'N,
{Ua.k, ubj} = CabUcM! При k, I < 0, -M - \<k + l, 0 -38)
I 0 в остальных случаях,
и пуассоновы подмногообразия представляют собой объединения орбит алгебры
Ли Сл-?м(д). Задача о выборе этих орбит уже конечномерна и ее можно
решать традиционными методами, например, фиксируя значения функций
Казимира.
Производящая функция координат ua<h (или иа,к(х) после восстановления
зависимости от х) теперь представляет собой рациональную функцию
переменной X
N-1
и(х) = ^и^АаХ'к~1 0-39>
' к=-М
и при конкретном выборе представления алгебры Ли g есть матрица в
пространстве этого представления. Она и представляет собой матрицу U (х,
X) из вспомогательной линейной задачи для рассматриваемых ниже
интегрируемых моделей.
Рассмотрим несколько примеров.
1. N=1, М=0.
$ 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕТКИ ПУАССОНА 463
Соответствующий элемент U (X) имеет вид
U{X) = ^ = ^-, (1.40)
А А.
где Sa-динамические переменные на пространстве Ci,0 =g* со скобками
Пуассона
{5а, Sfc) = - CabSc- (1.41)
В простейшем случае g=su(2) имеем три динамические переменные S", а=1, 2,
3. Рассматривая фундаментальное представление su(2) с генераторами Ха= -
оа, структурными констан-
2 i
тами СаЬс=?аьс и матрицами A', = ioa, имеем
iSо
[/(b) = _2JLf (1.42)
А
г(к)~~Г(7а<^)<Уа. (1.43)
2 А
Соответствующие орбиты выделяются условием
S? + S* + S| = const. (1.44)
Динамические переменные Sa, удовлетворяющие соотношению
(1.44) и скобкам Пуассона (1.41), использовались нами при описании
фазового пространства модели МГ в § 1.1. Матрица U(х, X) вида (1.42) и г-
матрица (1.43) переходят в соответствующие объекты из § II.3, после
замены X-"-2/Х, если вспомнить, что матрица перестановки Р в С 2<8>(CJ
имеет вид
Р=^(1(r)1+<Уа(r)<Уа), (1.45)
и опустить несущественное слагаемое, пропорциональное матрице /(g)/.
В случае произвольной полупростой алгебры Ли g рассмотренный пример дает
интегрируемое обобщение модели МГ - g-инвариантный магнетик.
