Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Хак=ХаКк, а= 1, ..., п\ k=-оо, оо, (1.8)
где Ха-генераторы алгебры Ли g со структурными константами Cab- Их
коммутатор, очевидно, имеет вид
[Xa.k, Xb,l\ = CCabXC'k?l~ (1-9)
Обозначим через uak координаты элемента и в двойственном пространстве
С*(д); в соответствии с (1.6) считаем, что ua,h=0-при достаточно больших
положительных k. Соответствующее спаривание имеет вид
и(r) = (и,&) = 2"".*& (1-10)
к
где сумма по k всегда конечна. Скобки Ли - Пуассона для координат иа,к
имеют вид
{Ца,к> U-b,l\^= (~'abU-c,k+l< (dl)
Удобно ввести производящую функцию иа(Х) координат иа>* элемента и из
С*(д) в виде следующего формального ряда Лорана:
k^oo
Ua(b)= 2 (1-12)
k - ~OQ
Для спаривания (1.10) имеем красивую формулу
u(g)=Res ".(*)!"(*), (1-13)
где символ Res для любого формального ряда Лорана означает его
коэффициент при Х~1.
Переменная X вводит в алгебре С(д) градуировку.
С(9)= 2 д^= 2 с*> (1Л4>
оо k^>-oo
где
[С*, С/]сдСл+/, (1.15)
которая, в частности, позволяет разложить С(д) в линейную сумму двух
подалгебр:
С (д) = С+ (д) + С_ (д), (1.16)
§ 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СКОБКИ ПУАоСОНА
459
где
C+(s)=2C, С_(9)= ^С*. (1.17,
fc=0 k^>-эо
Аналогичное разложение имеет место и для пространства С*(д):
С* (9)= с; (9) +с: (9), (1.18)
которое в терминах производящей функции иа{К) имеет вид
ua(k) = ifa(K) + ua(K), (1.19)
где
k=-l tr^oo
U+a(l)= ^ "вД"*'1. ""W = 2 О'20)
k=-(tm) k-o
Подпространства С±(д) ортогональны С±(д) в смысле спаривания (1.10) и
C+(g) = (Ст(д))*. Скобка Ли - Пуассона (1.11) естественно ограничивается
на эти подпространства.
Получающаяся пуассонова структура на С± (д) красиво записывается в
терминах производящих функций UaW- Именно, умножим обе части (1.11) на
и просуммируем по k, /<
<0 и k, 1^0. Мы получим, что
f ±т ±, у, _ГС Ut М - ut (9) ,, ог.
{иа (A,), Ub (р)} |-Cai) - . (1.21)
л - р
Соответствующая формула для скобки Пуассона {иа (А), u~q (р)} уже не
столь элегантна. К счастью, она нам и не нужна, поскольку мы сейчас
введем на фазовом пространстве С*(д) новую пуассонову структуру. Именно,
в соответствии с разложением (1.16) введем на векторном пространстве С(д)
новую структуру алгебры Ли с коммутатором [ , ]0, полагая
[?+, г\+]0= [?+, Ti+], [?-, ti_]o = - [?-, л-] (1.22)
[|+, л-]. = 0, (1.23)
где ! = !+ + !_, Т1 = г1+ + Т1_-элементы из С(д). Вводя оператор
Я = ±(Р+-Р_), (1.24)
где Р±-проекторы на подпространства С±(д), Р+Р- = Р-Р+ = 0, соотношения
(1.22) - (1.23) можно записать в виде одной формулы
[|,л].= [^1,л] + [ё./?л]. (1-25)
460
ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД
Описанную бесконечномерную алгебру Ли с коммутатором [ , ]о будем
обозначать через С0(д). Именно она и будет играть основную роль при
классификации интегрируемых моделей.
Соответствующие скобки Ли - Пуассона {,}" на фазовом пространстве С*(д)
даются формулами (1.21) без знака ± в правой Части и
KW, иГ(ц"ь-0. (1.26)
Теперь объединим (1.21) и (1.26) в одну элегантную формату, предполагая,
что алгебра Ли g допускает симметричную невырожденную билинейную форму
<¦,), инвариантную относительно присоединенного действия. Например, можно
считать алгебру Ли g полупростой и в качестве < , ) взять форму Киллинга.
_ Рассмотрим невырожденную матрицу К с матричными элементами
КаЬ=(Ха,Хь). (1.27)
(В случае, если алгебра Ли g полупроста и реализована как матричная
алгебра, то можно считать 7C"b = trХаХь.) Через КаЪ будем обозначать
матричные элементы обратной матрицы К~л. Введем элемент П из g(r)g и
элементы А" из g по формулам
П = Ка'Ха^)Хь, (1.28)
Аа=КаЬХь. (1.29)
Справедливы соотношения
[П, Ае 0 Л = - [П, / (r) Ас\ = СсаЬАа 0 Аь, (1.30)
где символы А(r)1 и 10А обозначают естественные вложения элемента А из
алгебры Ли g в g(r)g. Для доказательства этих формул следует, помимо (1.1),
использовать свойство антисимметрии структурных констант: тензор СаЬс=Кт
Кьь С°а'ь> полностью антисимметричен, что вытекает из инвариантности
формы (,).
Используя введенные объекты П и Аа, определим элемент г (к) из g<g>g
г(к) = П/к (1.31)
и формальный ряд Лорана U (к) с коэффициентами в g'Og
U(k)=ua(k)Aa. (1.32)
В их терминах скобки Ли - Пуассона (1.21) и (1.26), порожденные алгеброй
С0(д), переписываются в виде одной формулы
{U (к) (r) U (р)}0 = [г(к- р), U(k)(r)l+I(r)U (р)], (1.33)
где в левой части мы использовали естественное обозначение
{(r)}о (см. § III.1 части I). Формула (1.33) получается из
(1.21)
§ 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СКОБКИ ПУАССОНА
461
после умножения на Аа(r)Аъ и учета соотношений (1.30). Далее вплоть до § 4
мы будем использовать только скобки Пуассона поэтому для упрощения формул
будем опускать индекс 0.
Поучительно сравнить скобки Ли-Пуассона для алгебры Ли С0(д) в форме
(1.33) с фундаментальными скобками Пуассона для непрерывных моделей из §
III.1 части I и § II.3, II.6 и II.8. Эти формулы практически совпадают по
своей записи; формальное отличие состоит в том, что в (1.33) отсутствует
пространственная переменная х. Зависимость от х легко ввести в наше
