Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
на соотношении типа (2.9), необходимо, чтобы эти автоморфизмы
коммутировали. Однако ряд (2.22) следует понимать в смысле (2.10);
повторяя приведенный выше вывод уравнения (2.3), использующий теорему
Лиувилля, можно убедиться, что автоморфизмы 0! и 02 не должны иметь общих
неподвижных точек. Такие пары автоморфизмов существуют лишь для алгебр Ли
серии Ап-и т. е. в случае g = sl("), при этом Qi = Qz = ti. В
фундаментальном представлении sl(/z), с точностью до внутреннего
автоморфизма, имеем
4 = TilT~\ 1=1,2, (2.23)
где 7, и Г2-матрицы пХп с матричными элементами
(Е[) *(=?*6,,), (Г2) ы = 8k+iti (2.24)
и ? - примитивный корень п-й степени из 1, k, 1= 1, ..., п, а
Итак, соответствующая г-матрица может быть полностью
охарактеризована как мероморфная матрица-функция со значениями в si (п)
(r)sl (п), удовлетворяющая условиям квазипериодичности
гА" (Г + и,-) ={Tt 0 У) гА* (X) (ГГ1 (r)7). 1 = 1 - 2, (2.25)
и требованию
гл.^) = 11 + 0(1) (2.26)
К
при Г->0. Ее матричные элементы являются эллиптическими функциями с
решеткой периодов п\2 и простыми полюсами в
470 гл. IV. ли-алгебраическии подход
точках решетки Л2. Такие г-матрицы естествеиио называть эллиптическими.
Рассмотрим простейшие примеры, отвечающие алгебре Ли si (2) в
фундаментальном представлении. В качестве образующей одномерной решетки
возьмем co=jx и определим автоморфизм 0 по формуле
0? = а3?а3. (2.27)
Как следует из (2.12), соответствующая тригонометрическая г-матрица имеет
вид
г (К) = ---(ах 0 сгг + сг2 0 сг2 + cos7cr3 0 <j3). (2.28)
2sin к
Такая r-матрица уже встречалась нам при описании частично анизотропной
модели МГ и модели SG (см. § II.8 и 11.6; в последнем случае к следует
заменить на га).*
В качестве образующих двумерной решетки Л2 возьмем сй! = 2К, (о2=2iK',
где К и К'- полные эллиптические интегралы модулей k и &' = yi-k2
соответственно, и положим
7\ = (т" T2=0l. (2.29)
Соответствующая эллиптическая г-матрица имеет вид
r w - п П " (ст1 (r) СТ1 + dn (^. k) ст2 0 а2 + СП (к, k) сг3 0 <т3),
(2.30) 2sn (?.,?)
в чем можно убедиться, суммируя ряд (2.22). Конечно, условия
(2.25) - (2.26) непосредственно следуют из приведенной формулы для
г(к). Такая г-матрица участвовала при описании модели Л- Л (см. § II.8).
Итак, мы убедились, что все возникающие при рассмотрении конкретных
моделей г-матрицы погружаются в одно из трех описанных семейств:
рациональные г-матрицы, имеющие ли-алге-браическую интерпретацию, и
тригонометрические и эллиптические, получающиеся из рациональных в
результате усреднения.
Каждая из этих г-матриц порождает фундаментальные скобки Пуассона
{?/(^)0?/(p)} = [r(^-.u), t/(^)0/ + /0t/(p)], (2.31)
где мы опять опустили зависимость от х. Участвующий в них
элемент U(к) из алгебры Ли g должен удовлетворять условиям
квазипернодичкости:
U(k + a)=BU(k) (2.32)
в тригонометрическом случае и
и(к + т)=В(и(к), /=1,2, (2.33)
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ г-МАТРИЦЫ
471
в эллиптическом случае. Естественный способ построения таких U (X)
состоит в применении процедуры усреднения к элементам U(К), определяющим
конечномерное фазовое пространство в рациональном случае. Большое
количество примеров таких элементов приведено в § 1. Однако условие
сходимости соответствующих рядов накладывает дополнительные ограничения
на возможный выбор рациональных U(X).
Наиболее представительный пример доставляют элементы U (X) вида
N ni S':) Аа
1 k=0 v "
Полагая для таких U (X)
оо
Ux\X)= ^ QnU(b - na>) (2.35)
П- - оо
в тригонометрическом случае и
оо оо
иА\х)= ^ 2 0iI0"2t/ е-- л2ю2) (2.36)
П,--ОО П.-
в эллиптическом случае (с соглашениями о суммировании типа
(2.10)), получаем, что UAi(X) и UA2(X) удовлетворяют фундаментальным
скобкам Пуассона с г-матрицами гл-(>,) и r^lx) соответственно.
Действительно, полагая
U(n)(X)=enU(X-я(r)), (2.37)
из'(2.31) получаем
{U(n) (X) (g) U(m) (р)} = [г("-ш) (7 - р), и,п) (X) 0 / + / (r) и{т) (р)],
(2.38)
откуда после суммирования по п и т заключаем, что UAi(X) удовлетворяет
фундаментальным скобкам Пуассона с г-матрицей гЛ'(7). Для строгого
доказательства следует сравнить полюса левой и правой частей
фундаментальных скобок Пуассона и использовать теорему Лиувилля.
Эллиптический случай рассматривается аналогично.
Простейшим примером этой конструкции является матрица ДЛ-Л(X) модели Л-Л,
которая получается в результате эллиптического усреднения соответствующей
матрицы иъ1г(Х) модели МГ,
и'Л['(Х)='^- (2.39)
472
ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД
(см. формулу (1.42)). Имеем 00 00
ил-л (А) = 2 2 (K - 2n1K - 2in,K')o^ =
л1=-00 П2=-оо
00 00 (- пл*
= *51 51-------------------------------Vx +
^ ^ к - 2пгК - 21пгК'
fli-- :(c) П#=-ОС
08 °°_____________(____________ Пп1+Л1
+ *51 51.............. ] s,<xa +
^ ^ k - 2n1K - 2iniK 2
П\=-00 п2~~ 00
00 00 (- п""
+ *51 5-----------------------------5з<п =
^ ^ X - 2n1K - 2in,K'
Щ=-00 П2=г-00
sn (k, k)
+ dn (к, k) S2or2 -f cn (X, k) S3CT3). (2.40)
В тригонометрическом случае, очевидно, получаем матрицу U(к) для частично
