Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
формы. Аналогичные подстановки существуют и в случае 8=su(N) для
произвольного N, но мы не будем приводить их
§ 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СКОБКИ ПУАССОНА НА РЕШЕТКЕ
475
явные выражения. Зная простейшие матрицы L{%), мы можем строить более
сложные по формулам типа (3.8).
Отметим, что процедура усреднения из § 2, введенная для непрерывных
моделей, может быть обобщена и на решеточный случай. Пусть матрица L(K)
удовлетворяет фундаментальным скобкам Пуассона (3.2) с рациональной г-
матрицей. Полагая
1<">(Я,)=еп1(Я-.пв), (3.10)
перепишем (3.2) а виде
(Я) (r) Lim) (,u)} = [гп~т> (Я, - р), L(n) (Я) 0 L(m) (р)], (3.11)
где матрица r(n~m)(X) была введена в (2.4). Перемножая формально (3.11)
по всем пит, приходим к соотношению (3.2), в котором участвует матрица
оо
LAl (X) = Д1(я)(Я) (3.12)
П=-оо
и г-матрица гА|(7) вида (2.7). Однако эта процедура требует значительного
обоснования, которое выходит за рамки этой книги.
Этими замечаниями о решеточных моделях мы здесь и ограничимся.
Приведенные классы матриц Ln(X) содержат рассмотренные в этой книге
модели и позволяют строить их интересные обобщения.
Итак, в этом и в двух предыдущих параграфах мы рассмотрели с общей точки
зрения вспомогательные линейные задачи для интегрируемых моделей и
соответствующие им фундаментальные скобки Пуассона. Наиболее законченная
геометрическая интерпретация была получена для непрерывных моделей с
рациональной г-матрпцей. Как мы показали, связанные с ней фундаментальные
скобки Пуассона порождаются специальной бесконечномерной алгеброй Ли
^((й)). и соответствующие непрерывные модели обладают наибольшей степенью
симметрии. Непрерывные модели с тригонометрическими и эллиптическими г-
матрицами имеют частично нарушенную симметрию и описаны менее детально. В
частности, не был приведен соответствующий аналог алгебры ^((й))-
Наконец, при описании моделей на решетке мы, по существу, ограничились
лишь подходящими подстановками. Однако, во всяком случае для рациональной
г-ма-трицы, отвечающей алгебре su(Af), эти подстановки в непрерывном
пределе дают весь класс матриц U(х, X), описанных в § 1. Роль алгебр Ли
^о((й)) Для моделей на решетке должен играть объект типа группы Ли,
однако подробное обсуждение этого выходит за рамки настоящей книги. Этими
словами мы и заканчиваем изложение нашей классификационной схемы для
интегрируемых моделей.
476
ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД
§ 4. Геометрическая интерпретация представления
нулевой кривизны и метода задачи Римана
Задача Римана о факторизации матриц-функций играла важную роль в нашей
книге. Во-первых, она использовалась для решения обратной задачи -
обращения отображения (см. § II.1-3, § II.6 части I и § II.2, II.5) и,
тем самым, была составной частью метода решения начальной задачи для
рассматриваемых нелинейных уравнений. В частности, ередставление нулевой
кривизны для этих уравнений вытекало из формализма задачи Римана. Во-
вторых, в § 1.6 с ее помощью мы описали метод нахождения широкого класса
частных решений общего уравнения нулевой кривизны - процедуру одевания. В
этом параграфе мы рассмотрим метод решения начальной задачи для
интегрируемых нелинейных уравнений и процедуру одевания с общей точки
зрения. Именно, мы изложим геометрическую схему, порождающую гамильтоновы
уравнения, имеющие богатый набор инволютивных интегралов движения и
допускающие представление нулевой кривизны. В ней свое естественное место
найдет и процедура одевания. Основную роль в этой схеме будет играть
введенная в § 1 бесконечномерная алгебра Ли ^((д)) с двумя коммутаторами
[ , ] и [ , ]0 и ее центральное расширение.
Построение геометрической схемы мы разобьем на несколько этапов. Сначала
в п. 1 мы рассмотрим модельную ситуацию, отправляясь от конечномерной
алгебры Ли д. На ее примере будут введены основные приемы геометрического
подхода к построению интегрируемых уравнений и их решений при помощи
задачи факторизации в группе Ли G. Затем в п. 2 мы заменим алгебру Ли g
на бесконечномерную алгебру Ли ^(д) -алгебру Ли функций от х со
значениями в д и ее центральное расширение. Там естественным образом
появятся представление нулевой кривизны и матрица монодромии
вспомогательной линейной задачи. Окончательная схема в п. 3 получается
при замене алгебры Ли g из п. 2 на алгебру токов С(д), приводящей к
алгебре Ли 'г? ((g)). Таким образом, порядок введения переменных х и X
здесь обратен принятому в § 1. Абстрактная задача о факторизации из п. 1
в п. 3 превратится в традиционную задачу Римана об аналитической
факторизации матриц-фуикций.
1. Задача о факторизации как способ построения интегрируемых
гамильтоновых уравнений и их решений. Пусть G - конечномерная группа Ли,
такая, что ее алгебра Ли g допускает разложение в линейную сумму двух
подалгебр
8 = 8++8-> (4.1)
а Р±-соответствующие проекторы:
Р ±8± = 8±. Р ±8т = 0-
(4.2)
§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
477
Положим
/? = |(Р+-Р_) (4.3)
и введем иа g вторую структуру алгебры Ли с коммутатором {,]"":
