Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
[1, Tl]o=[P|, Г)] + ^Tl]> (4-4)
где [ , ] -исходный коммутатор в g (сравни с § 1). На фазовом
пространстве д* рассмотрим скобки Ли - Пуассона {,} и {,}0,
ассоциированные с коммутаторами [ , ] и [ , ]0 соответственно. Через /(д)
обозначим аннулятор пуассоновой структуры {,} - алгебру функций Казимира
- состоящую из инвариантов ко-присоединенного действия Ad* группы Ли G на
д*: для функции /(") из /(g)
f(Ad*g.u)=f(u) (4.5)
для всех g из G.
Замечательное свойство пуассоновой структуры {,}0 состоит в следующем;
алгебра /(g) инволютивна по отношению к скобке Пуассона { , }0.
Для доказательства используем инвариантное определение скобки Ли-
Пуассона, которая была введена в § 1 формулой
(1.2). Для любой функции f (u) на д* через Vf(u) обозначим ее градиент -
элемент из алгебры Ли д, задаваемый формулой
V/ (и) = Ха. (4.6)
диа
В этих обозначениях формула (1.2) переписывается в виде
{К, Ы (") = -(", [V/Ди), V/Ди)]), (4.7)
где и из д*-точка, в которой вычисляется скобка Пуассона, а (,) -
спаривание д и д* (см. § 1). В частности, полагая /,(") = = "а|а и /2(и)
= /("), где /(") лежит в /(g), получаем, что
(и, [V/("), |])=0 (4.8)
для любого элемента ! = !"Да из алгебры Ли д. Теперь свойство
инволютивности алгебры /(д) очевидно; для любых функций /|(и)>Ы") из
^(fi) имеем
{fи h}o(u)= - (и, [RVU(u),Vfz(u)]) -
- (и, [V/Ди), ЮШ])=0, (4.9)
поскольку каждое слагаемое в правой части исчезает в силу
(4.8).
Итак, мы получили богатое семейство функций, инволютив-кое по отношению к
скобке Пуассона {,}о- Естественно рассмотреть гамильтоновы уравнения
движения, порожденные его
478 ГЛ. IV, ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИИ ПОДХОД
элементами. Они имеют вид
^={f,Ua}0(u), (4.10)
at
где в качестве гамильтониана выбрана функция f из /(g). Формула (4.8)
позволяет записать эти уравнения следующим образом:
du"
- = - (", lRVf(u), ^иа]) = (а<? (R^f{u))-и)а, (4.11)
at
или
= (4.12)
для всех | из д. В полупростой случае это уравнение переписывается более
элегантно: для элемента U из д,
U=иаАа (4.13)
(сравни с формулой (1.32)), оно принимает вид
^- = (RVf(u),U]. (4.14)
at
Представление уравнения (4.10) в виде (4.12) (или (4.14)) очень важно.
Как мы сейчас убедимся, оно приводит к процедуре построения решения
начальной задачи ua(t) \ t=o= и°а для нелинейного уравнения (4.10) в
терминах задачи о факторизации в группе Ли G.
Обозначим через G± подгруппы в G, отвечающие подалгебрам д±. Для
любого элемента д из G, достаточно близкого к /,
справедливо разложение
g=g+g~, (4.15)
гДе g± лежат в G+; это разложение единственно, если g± также близки к
единичному элементу в G. Задача о факторизации (4.15) представляет собой
абстрактный аналог задачи Римана.
Покажем, как с ее помощью решается нелинейное уравнение
(4.10). Рассмотрим однопараметрическую подгруппу в G, состоящую из
элементов вида g(/)=exp{-/Vf("0)}, и свяжем с ней (при достаточно малых
t) семейство задач о факторизации
g(t)=g+(t)g-(t), (4.16)
где g± (/) | (=0= I¦ Тогда решение уравнений движения (4.10) с
начальным условием и0 дается формулами
и (t) = Ad'g;1 (t) ¦ и0 = Ad(0 "°, (4-17)
или
(и (/), I) = (и\ g+ (t) tg? (/)) = (и°, rg-J (0 lg. (0) (4.18)
для всех | из g.
§ 4, геометрическая ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 479
Совпадение двух вариантов представления для u(t) в формуле (4.17) (или в
(4.18)) следует из соотношения
Ad*g(/)-иа = и\ (4.19;
инфинитезимальный вариант которого дается формулой (4.8).
Для доказательства продифференцируем равенство (4.16) по t и запишем
результат в виде
я:1 (о 5 w ?-1 w &+ w = s;1 (о w + %-(/) g=1 (4-20)
at at at
Вспоминая, что- (0/Г'(0=-V/("°), и обозначая dt
= L(0 = ^(0g-:1(0, (4.2i)
получаем
- г;1 (О V/ (и0) я+ (*) = (0 + L (0- (4.22)
Нетрудно убедиться, что выражение в левой части этого равенства есть -
Vf(u(t)). Для доказательства следует воспользоваться Аб*-инвариантностью
функции /("), из которой, в частности, имеем
/(") = / (Ad* g? (/)•"), (4.23)
и продифференцировать это равенство по и с учетом (4.17). Другими
словами, градиент Аб*-инвариантной функции "преобразуется подобно". В
результате приходим к разложению
-Vf(u(t)) = S+(t) +S-V), (4.24)
так что
ё± (/) ==-Р ±(yf(u(t))). (4.25)
Теперь дифференцируя формулы (4.18) по /, получаем
- ("°, g+ (0 &;1 (О ^ (0 gl1 (о) = (и (0. [&+, 51) (4.26)
и
(|р(0, &) = -("(*),[&_,&])• (4.27)
Поскольку
| (/) - L (/)) =- RVf (и ф), (4.28)
то на основании (4.26) - (4.27) заключаем, что u(t) удовлетво-
ряет уравнению (4.12) или (4.10).
Итак, мы показали, что решение нелинейного уравнения
(4.10) сводится к построению однопараметрической подгруппы
480
ГЛ, IV, ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИИ ПОДХОД
g(t) и решению задачи факторизации (4.16). Обе эти задачи линейны.
Другими словами, на модельном конечномерном примере мы объяснили
процедуру линеаризации гамильтоновых уравнений специального вида (4.10).
Как мы видим, в ней уже содержатся основные моменты метода обратной
задачи: гамиль-тоновость уравнений движения, наличие серии интегралов
движения в инволюции, метод построения решения начальной задачи при
