Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 152

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 180 >> Следующая

анизотропной модели МГ.
Матрица U(а) модели SG
U (a) =cho'S1a1 + shaS2a2+53a3, (2.41)
где
S,_^s tab, S! = icosei-, S, = 5v (2.42)
2г 2 2г 2 4г
дает пример квазипериодической матрицы U(а) (где со = гл, а О дается
формулой (2.27)), удовлетворяющей фундаментальным скобкам Пуассона с r-
матрицей вида (2.28) (где k = ia), которую нельзя непосредственно
получить процедурой усреднения. Однако ее можно получить при помощи
контракции из матрицы НЛ1(Я), возникающей при усреднении двухполюсной
матрицы U (к)
сИ'/т cO'fT
и (л) =+ L. (2.43)
/и - С А -J- С
Поэтому мы можем утверждать, что процедура усреднения позволяет дать
классификацию непрерывных моделей с конечным числом степеней свободы при
фиксированном х, допускающих тригонометрические или эллиптические г-
матрицы, если разрешить себе использовать также и контракции фазового
пространства.
Итак, мы получили схему построения матриц U(х, к) вспомогательной
линейной задачи, удовлетворяющих фундаментальным скобкам Пуассона с г-
матрицей из рационального, тригонометрического или эллиптического
семейств. В рациональном случае матрицы U(х, к) представляют собой
орбиты, конечномерные при фиксированном х, коприсоединенного действия
алгебры Ли
§ 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СКОБКИ ПУАССОНА НА РЕШЕТКЕ
473
*б?((д)). Поэтому изложенную схему можно рассматривать как способ
классификации соответствующих интегрируемых моделей. В тригонометрическом
и эллиптическом случаях мы ввели процедуру усреднения, позволяющую
строить богатое семейство квазипериодических матриц U(x, >,).
В следующем параграфе мы обобщим эти соображения на случай моделей иа
решетке.
§ 3. Фундаментальные скобки Пуассона на решетке
В основу рассмотрения решеточных моделей в главе III мы положили
вспомогательную линейную задачу
Fn+l = Ln(k)Fn (3.1)
с матрицей Ln(X), удовлетворяющей фундаментальным скобкам Пуассона в
форме
{Ln (F) (r) Lm (р)} = [г (к - р), Ln (X) @ La (р)1 8пт, (3.2)
для совместности которых г-матрица должна удовлетворять уравнениям (2.2)
- (2.3). Эти фундаментальные скобки Пуассона иа решетке не имеют простой
ли-алгебраической интерпретации. Однако описание соответствующих г-матриц
уже было получено при рассмотрении непрерывных моделей. Поэтому здесь мы
обсудим только вопрос о выборе конечномерных фазовых пространств при
фиксированном п и отвечающих им матриц Ln(X). Индекс п в дальнейшем будем
опускать.
Рассмотрим сначала рациональные г-матрицы, ограничившись для простоты
случаем алгебры Ли g=su(,V) в фундаментальном представлении.
Соответствующая г-матрица (2.1)
(с точностью до несущественного единичного слагаемого) имеет вид
г (*) = -?-, (3.3)
где Р-матрица перестановки в Сл'(r) C'v. Простейшая матрица L(k),
удовлетворяющая соотношению (3.2), дается выражением
L(X) = I + I^-, (3.4)
А
где динамические переменные Sa удовлетворяют скобкам Ли - Пуассона
алгебры Ли su(N)
{Sa, Sb} = - CCabSc (3.5)
и могут быть ограничены на орбиты. Проверка соотношения
(3.2) проводится непосредственно: помимо формул (1.30)
474
ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИП ПОДХОД
следует также использовать и свойство
[Р, Л(r)Л]=0. (3.6)
Отметим, что формула (3.4) представляет собой иаивиое решеточное
обобщение оператора L вспомогательной линейной задачи для непрерывного
случая
L = ----------------------------(37)
dx К * у '
который для g=su(2) участвовал в описании модели МГ (см. § 1). Таким
образом, представление (3.4) дает решеточное обобщение непрерывного g-
инвариантного магнетика для алгебры Ли g=su(iV).
Вследствие мультипликативного характера соотношения
(3.2) матрица L(X), представляющая собой произведение простейших,
L(X) =L(1) (X + Cj) ...L^(X + cm), (3.8)
также удовлетворяет фундаментальным скобкам Пуассона (3.2). Конечно,
динамические переменные Sа] , входящие в L{i) (>.),при разных i находятся
в инволюции. Формула (3.8) дает решеточный аналог многополюсной матрицы
U(X) из (1.55) с простыми полюсами. Обратно, выбором различных
непрерывных пределов из (3.8) можно получить рациональную матрицу U(Я)
общего вида, в том числе и с кратными полюсами.
Таким образом, мы получили богатый набор матриц L{%), описывающих
интегрируемые решеточные модели, которые связаны с рациональными г-
матрицами для алгебры Ли g=su(A). Выбор матриц Р(Я), удовлетворяющих
фундаментальным скобкам Пуассона (3.2) с рациональными г-матрицами, для
остальных серий классических алгебр Ли более сложен, и мы не будем на нем
здесь останавливаться.
Перейдем теперь к фундаментальным скобкам Пуассона
(3.2) с тригонометрическими и эллиптическими г-матрицами. Здесь мы можем
лишь предложить искать удачные подстановки, обобщающие (3.4) и
удовлетворяющие условиям квазипериодич-ности
1(Я + юО=е(?(Я), /= 1, 2. (3.9)
В случае алгебры Ли g=su(2) в фундаментальном представлении мы уже знаем
простейшую матрицу L(K) -это матрица L(X) для модели РЛ-Л (см. § 111.5).
Ее тригонометрическое вырождение приводит к матрице L(K) для частично
анизотропной модели РМГ или для модели LSG в случае другой вещественной
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed