Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
общую формулу (4.11) из п. 1 с формулой (4,39), получаем, что в терминах
элемента- U(х) = иа(х)Аа уравнение (4,55) принимает вид
ЭЩ. = cdlj?L +{V{x), и {х)]> (4.56),
dt дх
4 = 0, (4.57).
dt
где
V(x)=RVf(u), (4,58)
V(u) = j^r-Xa. (4,59)-
Н (дг)
Мы видим, что фазовое пространство W(g,) расслаивается на пуассоновы
подмногообразия с = const. На редуцированном фазовом пространстве ^*(0) с
с=1 гамильтоново уравнение (4,55) переходит в уравнение нулевой кривизны.
Интегралами движения для него являются элементы алгебры Казимира /(^(д))
- инварианты матрицы монодромии (4,44) (при с=1). Функциональная
размерность /(^(д)) совпадает с размерностью карта-новской подалгебры в
0.
На этом мы заканчиваем описание общей схемы, порождающей гамильтоновы
уравнения, имеющие инволютпвные интегралы движения и допускающие
представление нулевой кривизны,. Однако в представлениях нулевой
кривизны, с которыми мы имели дело при рассмотрении интегрируемых
моделей, участвовали матрицы U и V, зависящие, помимо х и /, еще и от
спектрального параметра X. Этот случай получается в результате
специализации общей схемы, когда в качестве алгебры Ли g мы выберем
алгебру токов С(д) из § 1.
3. Реализация общей схемы на примере алгебры Ли ^((й)); задача Римана
и семейство пуассоновых структур. Заменим в. рассмотрении п, 2 алгебру Ли
g на алгебру токов С(д) из § 1 с;
484
ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКПИ ПОДХОД
описанным там разложением
С(0)=С+(0)+С_(д).
(4.60)
Чтобы иметь возможность ввести соответствующую группу токов C(G), нам
придется несколько изменить данное там определение, Для определенности
будем считать, что алгебра Ли 'С (в) образована функциями %(к) со
значениями в д, аналитическими в области С\{0}. Подалгебры С+(д) и С_(д)
при этом состоят, соответственно, из функций %+(}.) и g-(?0,
аналитических в областях Си (C\{0})U{°°}i причем ?_(оо)=0. (Здесь
возможны н другие определения С(д) и С±(д), с одним из которых мы
встретимся в § 5.) Тогда группы Ли C(G) и C±(G) состоят из функций g(k) и
g±('n) со значениями в G, аналитических в соответствующих областях с
условием нормировки g-(oo) =/. Задачу о факторизации
g(K)=g+(l)g-(K) (4.61)
в группе Ли C(G) можно интерпретировать как задачу Римана для контура,
разделяющего точки А=0 и >,=оо.
Каждая инвариантная билинейная форма {,) на алгебре Ли 0 порождает
бесконечное семейство инвариантных форм { ,)р на алгебре токов С(д) по
правилу
Каждая такая форма задает 2-коцикл на алгебре Ли с?,((д)) =
туру алгебры Ли и порожденное ею семейство скобок Ли - Пуассона { ,}р на
редуцированном фазовом пространстве ^*((д)) с координатами иал(х):
T))j, = Res >,p(|(?i), ц (а)>, р =-оо, ..., оо. (4.62)
= "'(C(fl))
L
мр(?>11)= [ ResKp(^l(l, х), x)\dx, (4.63)
-L
который определяет ее центральное расширение ^((д)). Алгебра Ли <ё>Р((й))
образована генераторами Xak(x) и / с коммутатором
[Хам (х), Xb.l (у)]р = CCabXcMYl*> (X - У) + bk+l.-p-iKabV (х - у) /,
(4,64)
[АаДх), /]р = 0.
(4.65)
Разложение (4.60) позволяет ввести на ^((0)) вторую струк-
{UaM (х), иь,1 (у)}р -
§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
48b
Конечно, неультралокальное слагаемое ±Каьб'(х-у) входит только в одну из
строчек в правой части (4.66): в верхнюю при р<0 п в нижнюю при р>0. При
р = 0 оно вообще отсутствует, и мы приходим к ультралокальным скобкам
Пуассона из § 1.
Таким образом, рассмотрение § 1 полностью погружается в изложенную общую
схему. При этом нам стало ясно, почему естественно рассматривать
дифференциальный оператор L вспомогательной линейной задачи и инварианты
отвечающей ему матрицы монодромии.
В общем случае коприсоединенное действие ad алгебры Ли ^((д)) на
редуцированном фазовом пространстве ^'((д)) дается формулой
adll-U (х, Х)=ХР^ (х, X) + Ц (х, X), U (х, X)] (4.67)
dx
(сравни с формулой (4.39)). Поэтому гамильтоновы уравнения движения с
гамильтонианом f из алгебры Казимира /((r)'((д)))
= {/, U (X, ЩР = ad* RVf (и (х, X)) (4.68)
at
принимают вид уравнения нулевой кривизны, если сделать замену матрицы U,
вводя
UP{x, X)=X~pU{x, X). (4.69)
Уравнения (4.68) при разных р по существу являются эквивалентными. Более
точно, гамильтоново уравнение (4.68) с P~Pi и гамильтонианом Д может быть
записано как уравнение того же вида при р=р2 с гамильтонианом Д, просто
связанным с Д. Например, если в качестве Д мы возьмем функционал
U(U(x, X))=ResXNP(T(U(•, X))), (4.70)
где Р - инвариант матрицы монодромии T(U(-, X)), то в качестве
функционала Д мы должны взять
f2([J(x, X))=Res Х"+р'~р'Р(Т([/(¦, Х)Хр'~р*))- (4.71)
Для доказательства заметим, что поскольку в определении матрицы
монодромии (4.44) X является параметром, для V/, имеем общее выражение
Vfl(U(x,X))=M(x,X)X", (4.72)
где М(х, X) -функция от х и X со значениями в алгебре Ли д, зависящая от
X только через U(х, X): М(х, %)=M(UЯ), х). Отсюда следует, что
Vft(U(x, X)X^)=Vfl(U(x, X)), (4.73)
486
ГЛ. IV. ЛИ-ЛЛГЕБРАИЧЕСКИИ ПОДХОД
и уравнения нулевой кривизны, порождаемые соответствующими гамильтоновыми
