Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
с ядром К(х, у) = {Q3M, Qs (у)}-и и в правой части (5.32) следует
ограничиться на поверхность связей Q3(.v)=0. Из (5.29) имеем
K(x,y) = U'(x-y), (5.33)
так что
К~Чх,у)=г(х-у), (5,34)
где
eW = { 1 "Р" х> °- (5.35)
1- 1 при х<0.
В частности, полагая формально /=ф(.*:) и ?=ф(г/) или ф(г/), получаем
скобки Пуассона-Дирака для координат ф(х), ф (х) :
{Ф (х), ф (г/)}-1 = Ф (х) Ф (у) е (х - у), (5.36)
{Ф (х), Ф (?/)}-i =6' (х - у) - ф (х)ф (у)г(х - у). (5.37)
Этот же ответ мы получим, вычисляя скобки Пуассона координат ф(х),
ф(х) по формуле (5.21) при k-l. Таким образом, мы
показали совпадение пуассоновых структур { , }(1) и { , }_!• Отсюда, в
частности, следует справедливость тождества Якоби для скобки Пуассона { ,
}(1).
Для доказательства тождества Якоби для всех пуассоновых структур { , }<м
применим следующий прием. Заметим, что скобки Пуассона {,}0 и {,}_! на
Сол согласованы в следующем смысле: при всех а скобки Пуассона { , }<ct>
= { , }_i+ + а{ , }0 удовлетворяет тождеству Якоби. Это проще всего
проверить в координатах Qa(x), а= 1,2,3. Из (5.26) - (5.27) и (5.28) -
(5.29) имеем
{Q"M, Q4(i/)}<a) = {Qa(^), Qa("/)}-i+a{Q"(*), Оь(у)}"¦=
== &abcQc (X У) "В ~ 6ab6' (X y) , (5.38)
где Qa(x) =Qa(x) +aJa, a= 1, 2, 3. Таким образом скобка { , }(a)
получается из скобки Пуассона { , }_t заменой координат
§ 5. ИЛЛЮСТРАЦИЯ ОБЩЕЙ СХЕМЫ. МОДЕЛЬ НШ
495
Qa(x) >-+Qa(x) и, тем самым, удовлетворяет тождеству Якоби.
Редуцированные скобки Пуассона { , }(0) и { , }(1) на фазовом
пространстве Жй также являются согласованными. Рассмотрим теперь
симплектическую форму Па, отвечающую скобке Пуассона { , }<а>. Она
является билинейной формой антидиагональных матриц %(х), ц (х) и имеет
вид
?2o(?,ri)=^(0)(!. (A + a)-'ri), (5.39)
где Q(0) - симплектическая форма скобки Пуассона { , }(0). Из замкнутости
формы следует замкнутость всех форм Q(",:
Q{h)(l, л)=?2(0)(1, А~\), (5.40)
в чем легко убедиться, раскладывая (А + a)-1 в геометрическую прогрессию
в окрестности точек а = 0 н а = °о. Формы Q(ft) соответствуют скобкам
Пуассона { , }()1), и тождество Якоби для последних следует из
замкнутости первых.
Конечно, из приведенного рассуждения следует также, что тождество Якоби
справедливо и для более общей скобки Пуассона
{/> ?}ф= <grad /, ф (A) grad g>, (5.41)
где ф - произвольная гладкая функция. Тем самым согласованными являются
скобки Пуассона { , }ф и { , }х для произвольных функций ф и у.
Приведенному формальному доказательству нетрудно придать необходимую
строгость, если считать, что А обратим; в случае, если оператор А имеет
ядро (это так для A-оператора вида (5.22), следует редуцировать фазовое
пространство Jla, фиксируя значения функционалов из анну-лятора.
В § 111.5 части I мы выяснили и вторую роль А как оператора, порождающего
семейство ипволютнвных интегралов движения 1п посредством соотношения
grad In(x) =Agrad /"^(х). (5.42)
Здесь мы покажем, как эта формула, установленная в § II 1.5-части I
непосредственным вычислением, получается из простых геометрических
соображений и может служить для построения семейства /п.
Будем считать, что нам заданы два функционала /4 и /2 такие, что
гамильтоновы уравнения движения, порождаемые ими на фазовом
пространстве Ж" относительно скобок Пуассона
{ , } (1) и { , } (0), соответственно, совпадают, т. е.
для произ-
вольной наблюдаемой f
Uи /}(1>= {А) /} (0). (5.43)
Убедимся, используя согласованность скобок Пуассона { , },ov.
496
ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД
v { , }(1), что из этого равенства следует существование семейства
функционалов 1п, инволютивных по отношению к скобкам Пуассона { , }(0) и
{ , }(1) и удовлетворяющих соотношению
{/",/}(.,= {Дн-ь/Ь,. (5.44)
Для доказательства достаточно установить существование функционала /3
такого, что
{А./} (.,= {Л,/}(о,. (5.45)
Для этого покажем, что векторное поле X
Л7= {/2,/}(1> (5.46)
является (локально) гамильтоновым по отношению к скобке Пуассона { ,
}(0), т. е.
X{f,g}w={Xf,g}w + {f,Xg}i6). (5.47)
Последняя формула переписывается в виде
{^2, {f, S}(0)} (1)= {{Д> /}(!)> Я}(0)+ {/, {Д, <?}(1)}(0) (5.48)
и следует из тождества Якоби для скобки Пуассона { , }((" + + { , } (1) и
равенства
{Д> {/> §} (1)} (0) = {{Д> /} (0), S'} in + {/. {Д> g} (oj (l),
(5.49)
которое получается аналогично (5.48) из заданного соотношения (5.43).
Из явного вида (5.19) и (5.21) скобок Пуассона { , }(0, и { , }(1)
следует, что функционал /3 можно определить из соотношения
grad /3(л') =Л grad 12(х). (5.50)
Приведенное выше рассуждение можно рассматривать как доказательство
разрешимости этого уравнения (в случае односвяз-
ного фазового пространства).
Окончательная формула для функционалов /" имеет вид
/ri = grad_1A"_Igrad /I = grad-'An-'ngrad /,". (5.51)
Отсюда и из определения (5.21) скобок Пуассона { , }w следует
инволютивность функционалов 1п по отношению ко всем этим пуассоновым
структурам и более общее, чем (5.44), соотношение
(5.52)
где k + l=m + n.
