Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
что формулы типа (5.7) определяют матрицы (t) и h-(t) с точностью до
правых множителей из централизатора элемента Ua относительно действия
Ad*. Очевидно, что матрицы вида F(x, k)C(k)F~(x, к), где F{x, к) -
решение вспомогательной линейной задачи с матрицей U"(x,k), а С (к) -
произвольная матрица, принадлежат этому централизатору. Используя это
соображение, введем матрицы
g+{x,t,k) = h+{x,t,k), (5.12)
iK4
g_ (х, t, к) = h_ {х, t, к)) G_ (x, 0, к) е"g:1 (х, 0, к), (5.13)
которые удовлетворяют соотношению
g+{t)g-{t)=g{t), (5.14)
где
пн
g(x,t,k) = G?(x, 0, к) e~a3G+(x, 0, к). (5.15)
Матрицы g(t) уже образуют однопараметрнческую подгруппу, и сравнение с
формулой (4.90) показывает, что
g(/)=exp{-fVtf (?/")}. (5.16)
Таким образом, соотношение (5.14) реализует абстрактную задачу о
факторизации в применении К модели НШ, Формулы (5.12) - (5.13)
показывают, каким функциональным классам принадлежат искомые матрицы
g±(x,t,k): эти матрицы допускают аналитическое продолжение в
полуплоскости ±1тЯ>0 и
492
ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД
при [>. |->-оо имеют следующие асимптотики:
g+(*,'A) = / + 0(-^f (5.17)
е_ (х, (,).)=(/ + о (Щ)) А1 ф + о [ Щ)). (5Л8>
Итак, мы получили формальное согласование конкретной задачи Римана для
модели НШ и абстрактной задачи о факторизации из п. 1 § 4. Следует,
однако, сказать, что абстрактная задача о факторизации для
бесконечномерной группы ^((G)) в случае быстроубывающих граничных условий
нами не была сформулирована (даже и для соответствующей алгебры Ли).
Поэтому на проведенное выше рассуждение следует смотреть как на
определение такой задачи в применении к конкретной орбите, отвечающей
модели НШ. Этот пример показывает, что для приложения общей схемы из § 4
к конкретному нелинейному уравнению, отвечающему специальной орбите,
требуется дополнительное аналитическое исследование соответствующей
вспомогательной линейной задачи, приводящее к подходящей задаче Римана.
На этом мы заканчиваем обсуждение роли задачи о факторизации для решения
начальной задачи для интегрируемых нелинейных уравнений.
Перейдем теперь к описанию геометрического смысла А-опе-ратора из § III.5
части I и связанной с ним иерархии пуассо-новых структур. Напомним
соответствующие определения, ограничиваясь для простоты быстроубывающим
случаем и считая, что х=-1. На фазовом пространстве Жй с координатами
ф(х)> ф(х), помимо основной пуассоновой структуры
оо
{/.?} = ( grad/, gradg) = i ^ tr (grad f (x) o3 grad g(x))dx, (5.19)
- GO
где для произвольной наблюдаемой f
grad/W = -i(-^-a+ + -JL-0-) , (5.20)
i \6iM-0 SiM*) )
мы ввели иерархию пуассоновых структур (A gU) = (grad A Akgradg> =
оо
= i ^ tr (grad/ (*) cr3 A* grad g (x)) dx, k = - oo, . .., oo.
(5.21)
- oo
Здесь A - интегро-дифференциальный оператор, действующий па
антидиагональные матрицы F(x) по формуле
AF(x) = ia3^(x)~[U()(x), d'H[U0(-), F(•)])(*)]) , (5.22)
§ 5. ИЛЛЮСТРАЦИЯ ОБЩЕЙ СХЕМЫ. МОДЕЛЬ НШ
493
где
U0(x) =i(Tjj(x)cr_ + ij)(.v)cF+) (5.23)
и < , > означает билинейную форму, задаваемую интегралом в (5.19).
Очевидно, что {,} = {, }<о,.
Тождество Якоби для скобок Пуассона { , }(ft) в § III.5 части I нами
проверено не было. Здесь мы выясним геометрический смысл пуассоновой
структуры { , }(1) и докажем это тождество Якоби.
В п. 3 предыдущего параграфа на фазовом пространстве См,м. мы ввели
семейство пуассоновых структур { , }Р,
р=-.V,..., М. В частности, мы показали, что уравнение нулевой кривизны
для матрицы U(х/к) вида
U (х,).) = л/+ Q (х), (5.24)
где для алгебры Ли g=su (2)
/= Нава, Q(x)=iQa(x)aa, (5.25)
может быть записано в гамильтоновой форме тремя способами; ниже нас будут
интересовать только два из них. В первом способе участвует фазовое
пространство С0,--, состоящее из матриц U(х/к) вида (5.24) со скобкой
Пуассона { , }":
{/а,Д}о = 0, {/а, Q,(*)}" = 0, (5.26)
{Qa(x), Qb(y)}o = ?abJcd(x-y), (5.27)
а во втором - фазовое пространство С*л, состоящее из матриц
U(x, к) =/+ со скобкой Пуассона { , }_х:
X
{JaJb}-i= 0, {/a,Q(,U)}-1=0, (5.28)
{Qa (X), Qb (у)}_ 1 = - ZabcQc (х) б (х --у) + j 6аЬЬ' (х - у). (5.29>
В последнем способе уравнение нулевой кривизны получается для матрицы
U(x,k)=W(x,X), по виду совпадающей с (5.24)., Модели НШ отвечает
специальная орбита в фазовом пространстве С0,2, задаваемая условиями
Ji = J2=0, /3 = -1/2, Q3(*)=0, (5,30)-
которая отождествляется с фазовым пространством Лй, если положить
фМ = Qi(x) +iQz(x) (5.31)
(см. пример 2 в § 1). Однако не является пуассоновым подмногообразием
относительно скобки Пуассона { , }_!.
*494
ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИИ ПОДХОД
Тем не менее, мы можем редуцировать пуассонову структуру { , }_) на
многообразие Лй, рассматривая уравнения Q3(x)=0 как связи. Мы осуществим
это, вычислив явно соответствующую скобку Пуассона - Днрака, которая
имеет вид
ОО оо
{Д ?}-1 = {/. ?}-1 + 5 J {Л Qs (*)}_i К-1 (x, у) {Q3 (у), g}_! dxdy,
(5.32) - 00-00
где K_i (x, у) - ядро интегрального оператора K~\ обратного к оператору К
