Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 162

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 156 157 158 159 160 161 < 162 > 163 164 165 166 167 168 .. 180 >> Следующая

эллиптического случаев. Алгебра С(д) и ее подалгебра С+(д) имеют тот же
вид, что и в рациональном случае, в то время как аналог подалгебры С- (д)
строится по решетке Ai или Л2. Так, например, в эллиптическом случае
(g=sl(ra)) ее можно определить следующим образом. Пусть S (д)-алгебра
мероморфных функций s(X) на С со значениями в д, удовлетворяющих условиям
квазипериодичности
g(X + c0i) =0ig(X), i= 1, 2, (6.2)
и имеющих полюса в точках решетки Л2. Отождествим алгебру <8 (д) с
подалгеброй в С(д), сопоставив каждой функции из <8 (д) ее ряд Лорана в
точке Я=0, Функции из S (д) однозначно определяются своими главными
частями при Я=0, поэтому справедливо разложение
С(в) =С+(д) +8 (д), (6.3)
задающее структуру алгебры Ли Со(д). Оператор R= - (Р+-РЕ) (см. формулу
(1.24)) приводит к эллиптической г-матрице глг(Я). Линейное пространство
<?(д) является двойственным к алгебре Ли С+(д) относительно спаривания
(1.13), и описанные в § 1 орбиты коприсоединенного действия алгебры С+(д)
получают новую функциональную реализацию в пространстве <?(д). В
частности, простейшая орбита, отвечающая модели МГ, превращается в
орбиту, описывающую модель' Л-Л. Эти результаты принадлежат А. Г. Рейману
и М. А. Семенову-Тян-Шанскому [4.29].
14) Простейшие матрицы L(X), удовлетворяющие фундаментальным скобкам
Пуассона с рациональной г-матрицей, для классических алгебр Ли приведены
в работе [4.30].
§ 6, КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
499
15) Аналитическое обоснование мультипликативного усреднения (3.12) для
случая g = sl(2) и матрицы L(X) модели РМГ было проведено в работе
[4.301, Бесконечное произведение (3.12) вычисляется явно и приводит к
матрице L(X) модели LSG из § III. 5.
16) Фундаментальные скобки Пуассона (3.2) в одном узле задают пуас-соиову
структуру на группе Ли C(G): элементы L(X) при всех X можно считать
образующими кольца функций на группе C(G) и продолжить скобку Пуассона на
него по "правилу Лейбница". Описанная скобка Пуассона является примером
класса скобок Пуассона иа группах Ли, введенного в работе [4.13].
Основное свойство таких пуассоновых структур состоит в том, что операция
группового умножения является пуассоновым отображением. Это свойство
формализует тот факт, что матрица монодромии ТК(Х) для решеточных моделей
удовлетворяет тем же скобкам Пуассона, что и матрицы L"(X) (см, § III.1).
Группа Ли с такой пуассоновой структурой называется пуассоновой группой
Ли (или группой Гамильтона-Ли в работе [4,13]). Квадратичная скобка
Пуассона, введенная в работе [4,8], доставляет один из примеров
пуассоновой группы Ли [4,31].
17) Геометрическая теория интегрируемых решеточных моделей построена в
работах [4,31], [4,60]; соответствующие пуассоновы подмногообразия и
орбиты описаны В. Г. Дринфельдом (см. [4,601).
18) Инволютивность алгебры функций Казимира /(g) по отношению к скобке
Пуассона { , }о - "теорема инволютивности" - по существу содержится в
работе [4,50]. Ее г-матричная формулировка приведена в [4.31].
19) Способ решения гамильтоновых уравнений движения (4,10), порожденных
функциями Казимира и скобкой Пуассона { , }о, при помощи задачи о
факторизации (4.16) в группе Ли G ("теорема о факторизации") был
предложен в работах [4,57-4.581. Идея этого метода восходит к работе В.
Е. Захарова и А. Б. Шабата [4.15].
20) Конечномерные простые алгебры Ли приводят к интегрируемым системам,
обобщающим модель Тода со свободными концами на случай произвольной
системы корней; эти модели были введены в работе [4,39], где для них было
получено представление Лакса. Решение соответствующих уравнений движения
и исследование асимптотической динамики было дано в работе [4,51].
21) Центральное расширение 'S'(g) алгебры тОков С(д) (в случае если G -
простая алгебра Ли) является примером алгебры Каца-Муди - аффинной
алгебры Ли высоты 1 [4,48]. Ее введение мотивировано тем, что
соответствующее коприсоединенное действие группы Ли <<Р (G) задается
калибровочными преобразованиями и приводит к уравнениям движения в форме
нулевой кривизны. Впервые это обстоятельство отмечено в работе [4,25],
где эти алгебры также использовались для построения интегрируемых
уравнений.
22) Введение спектрального параметра X приводит к бесконечному числу
независимых функций Казимира и, тем самым, позволяет строить
содержательные примеры нелинейных уравнений, являющихся вполне
интегрируемыми гамильтоновыми системами. Если g - конечномерная простая
алгебра Ли, то с алгеброй токов С(д) (зависимость от х отсутствует)
связан ряд интересных конечномерных интегрируемых систем: обобщенные
периодические модели Тода, многомерные волчки в потенциальных полях и
системы взаимодействующих волчков [4.5], [4.26], [4.29], [4.37], [4.57-
4.58]. В этом случае теорема о факторизации немедленно приводит к теореме
о линеаризации уравнений движения на якобиане спектральной кривой, т. е.
алгебраической кривой, задаваемой уравнением det(t/(А,)-ц)=0 [4.58]. Это
Предыдущая << 1 .. 156 157 158 159 160 161 < 162 > 163 164 165 166 167 168 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed